Génération de signaux 信号发生器

简介

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信号发生器（Générateur de signal）是一种能够自主产生特定电压波形（如正弦波、方波、锯齿波等）的电路，其核心工作原理基于振荡器（Oscillateur）。

一个完整的振荡系统（Système oscillant由两个关键组件构成：

• 主动元件（Élément actif）：提供能量的源头，如晶体管或运算放大器，用于放大或补偿能量损耗。

• 被动反应元件（Élément passif réactif）：通常由电感（L）、电容（C）或电阻（R）组成，用于储存和释放能量，控制频率特性。

这两者之间形成能量的转移和反应，从而维持持续的振荡。

两类常见的振荡器：

• 线性振荡器（Oscillateurs linéaires/sinusoïdaux）：如RC、LC或石英振荡器，产生的是连续波形（例如正弦波）。

• 弛张振荡器（Oscillateurs à relaxation）：例如施密特触发器或多谐振荡器，输出的是非连续的波形（例如方波、锯齿波），原理是能量储存与突释放的循环

正弦振荡器 Oscillateurs sinusoïdaux

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振荡器由一个放大器和一个反馈网络组成。如果希望系统无外部输入即可持续震荡，必须满足：

• 反馈为正 （contre-réaction positive）
• 放大器增益$A$与反馈网络传递函数$\beta (j\omega )$满足一定关系。

假设A在频率上恒定，则系统的传递函数：

$$H(j\omega )=\frac{x_3}{x_1}=\frac{A}{1-A\beta (j\omega )}$$

振荡器的三种工作状态

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根据$A$和$\beta (j\omega )$的关系，可将振荡器的工作状态分为三类:

• 增益反馈过强： $A\beta (j\omega )>1$，系统不稳定，输出信号会无限增大，直到饱和。但其非线性特性也可以用在方形信号发生器中。
• 增益反馈不足： $A\beta (j\omega )<1$，系统稳定，输出信号会衰减到0。
• 增益反馈适中： $A\beta (j\omega )=1$，系统处于临界状态，输出信号保持恒定幅度。可以用来构建正弦振荡器（线性振荡器）

巴克豪森条件和震荡频率

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为了使得电路持续自激振荡，需要满足以下条件： $$1-A\beta (j\omega )=0⟺A\beta (j\omega )=1$$

换言之：

$$|A\beta (j\omega )|=1\text{ 且 }\phi (A\beta (j\omega ))=2n\pi ,n\in \mathbb{N}$$

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振荡频率$f_0$是使得贿赂相位为$n\pi$的频率点。即： $$\beta \left(j{\omega }_0\right)\in \mathbb{R}\iff \phi \left(\beta \left(j{\omega }_0\right)\right)=n\pi ,n\in \mathbb{N}$$ 也就是说，震荡频率由反馈网络确定。此时，增益应该满足： $$A=\frac{1}{\left|\beta \left(j{\omega }_0\right)\right|}$$

因此，反馈电路应该满足幅度和相位为频率的函数，并且通过相位应该为0或$\pm \pi$。

频率稳定性

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振荡器通常是实现成本和振荡频率稳定性的折中考虑。

频率稳定性一般定义为：

$$S\left({\omega }_0\right)={\left|\frac{d\phi (\beta (j\omega ))}{d\left(\omega /{\omega }_0\right)}\right|}_{\omega ={\omega }_0}$$

即相位在振荡频率周围的变化越大，振荡器越稳定。

对于一个使用二阶带通滤波器实现的振荡器的反馈电路，其传递函数为：

$$H_{BP2}(s)=K\frac{s\frac{{\omega }_0}{Q}}{s^2+s\frac{{\omega }_0}{Q}+{\omega }_0^2}$$

此时，频率稳定性为：$S({\omega }_0)=2Q$。

CR移相振荡器

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CR移相振荡器由以下两个部分组成：

• 一个反相放大器（Amplificateur inverseur）

• 一个由三个CR单元组成的反馈电路（三级高通结构）

其反馈电路传递函数为：

$$\beta (j\omega )=\frac{1}{1-\frac{5}{(\omega RC{)}^2}-j(\frac{6}{\omega RC}-\frac{1}{(\omega RC{)}^3})}$$

这里进行简要证明：

节点定义
电路中共有四个节点 (node)：
- 输入节点：设输入电压为 $V_0$；
- 两个中间节点：分别为 $V_1$ 和 $V_2$；
- 输出节点：输出电压为 $V_3$。
因此有 $\beta =V_3/V_0$。

基尔霍夫定律 (Kirchhoff’s laws) 建立方程
令 $x=j\omega RC$，根据基尔霍夫电流定律 (KCL)，可得：
$$\{\begin{array}{l}(1+2x)V_1-x{V}_2=x{V}_0,\\ x{V}_1-(1+2x)V_2+x{V}_3=0,\\ x{V}_2-(1+x)V_3=0.\end{array}$$

以下以节点 $V_1$ 的方程推导为例，其余节点同理。

节点 $V_1$ 的电流分析
节点 $V_1$ 有三条支路：
- 左侧电容分支：电流记为 $I_1$；
- 右侧电容分支：电流记为 $I_2$；
- 下方电阻分支：电流记为 $I_3$。

根据电容电流公式及拉普拉斯变换：
$$I_1=C\frac{d(V_1-V_0)}{dt}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{I}_1=j\omega C(V_1-V_0),$$
同理：
$$I_2=j\omega C(V_1-V_2),I_3=\frac{V_1}{R}.$$
由基尔霍夫电流定律：
$$I_1+I_2+I_3=0,$$
即
$$\frac{V_1}{R}+j\omega C(V_1-V_0)+j\omega C(V_1-V_2)=0.$$
令 $x=j\omega RC$，即可化简为第一条方程。

对其他节点重复相同过程，可得第二、三条方程。

矩阵形式与求解 将上述线性方程组写成矩阵形式：

$$\left(\begin{array}{ccc}1+2x& -x& 0\\ x& -(1+2x)& x\\ 0& x& -(1+x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\\ V_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x{V}_0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

解得：
$$V_3=\frac{x^3}{x^3+6x^2+5x+1}{V}_0,\beta =\frac{V_3}{V_0}=\frac{x^3}{x^3+6x^2+5x+1}.$$

替换 $x=j\omega RC$** 最后令 $x=j\omega RC$，得到：
$$\beta (j\omega )=\frac{1}{1-\frac{5}{(\omega RC{)}^2}-j(\frac{6}{\omega RC}-\frac{1}{(\omega RC{)}^3})}.$$

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性能指标 - 振荡频率：$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{6}RC}$ - 频率稳定性：$S\left({\omega }_0\right)=\frac{12}{29}\sqrt{6}\approx 1.01$ - 起振条件：$A=-\frac{R_2}{R_1}=-29$