filtre 滤波器

概述

滤波器用以选择性地通过或阻止信号的频率成分，以及删除信号中的噪声。

按照频率响应特性，滤波器可分为低通(Filtre passe-bas)、高通(Filtre passe-haut)、带通(Filtre passe-bande)和带阻(Filtre coupe-bande)滤波器。

按照不同的技术，可分为电子滤波器和机械与物理滤波器。


> 图为表面声波滤波器（SAW Filter）。当一个射频信号加在左侧交指电极上时，会激励出沿压电材料表面传播的表面声波。表面声波在材料表面传播的波长满足公式\(\lambda = c/f\)。由于电极之间的间距固定（决定了某一波长），只有特定频率的声波能有效激发与接收，因此实现了对信号频率的窄带选择性滤波。不符合频率条件的信号将不会有效传播或被转换，从而被抑制。

理想滤波器是指不引起信号失真的滤波器，其作用仅是放大或延迟信号，而不改变信号的频谱结构。

理想滤波器在现实中不存在！

滤波器的传递函数

在频域上，滤波器的传递函数\(H(f)\)是输入信号\(X(f)\)和输出信号\(Y(f)\)的比值：\(Y(p) = H(p)X(p)\)。

对于一个线性滤波器，其传递函数可以写作：

\[ H(p)=\frac{\sum_{i=0}^k b_i p^i}{\sum_{j=0}^m a_j p^j} \]

与之前课程中提到的传递函数相同，一个线性系统仅当其所有极点的实部为负时才稳定。

渐进行为 考虑上述传递函数在低频和高频时的渐进。

在低频时，\(H(0)\to\frac{b_0}{a_0}\)

在高频时： - \(H(j \omega) \rightarrow \frac{b_k}{a_m}(j \omega)^{k-m}\) - 模长 \(|H(j \omega)| \rightarrow\left|\frac{b_k}{a_m}\right| \omega^{k-m}\) - 相位 \(\varphi(H(j \omega)) \rightarrow n \frac{\pi}{2}\)

正则传递函数

一阶滤波器

  • 低通滤波器： \(H_{L P}(j \omega)=K \frac{1}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}} \ or \ H_{L P}(s)=K \frac{\omega_0}{\omega_0+s}\)

  • 高通滤波器： \(H_{H P}(j \omega)=K \frac{j \frac{\omega}{\omega_0}}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}} \ or \ H_{H P}(s)=K \frac{s}{\omega_0+s}\)

二阶滤波器

\[ \begin{array}{ll} H_{L P 2}(j \omega)=K \frac{1}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{L P 2}(s)=K \frac{\omega_0^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \\ H_{H P 2}(j \omega)=K \frac{-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{H P 2}(s)=K \frac{s^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \\ H_{B P 2}(j \omega)=K \frac{2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{B P 2}(s)=K \frac{s \frac{\omega_0}{Q}}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \\ H_{B S 2}(j \omega)=K \frac{1-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{B S 2}(s)=K \frac{s^2+\omega_0^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \end{array} \]

其中，复频率\(s=jω\)，品质因数\(Q=\frac{1}{2\xi}\)。

滤波器设计

gabarit 滤波器模板

滤波器的“gabarit”（模板曲线）是用于定义其性能指标的图形工具，通常在频率响应图中标出不同区域的允许误差范围和性能要求。

关键参数

  • \(f_c\)：-3dB截止频率（频率响应下降3dB处）。

  • \(f_s\)：阻带起始频率（定义阻带的开始）。

  • 带通区（Bande passante）：滤波器主要工作频率范围，信号能无明显衰减通过。

  • 带阻区（Bande d’arrêt）：需要抑制的频率范围，信号被大幅衰减。

  • 过渡带（Bande de transition）：从通带过渡到阻带的区域，滤波器特性快速变化。

  • 阻带衰减（Atténuation dans la bande d’arrêt）：表示滤波器在阻带中抑制信号的能力。

  • 通带波动（Oscillation dans la bande passante）：通带内的增益可能不是完全平坦，会存在微小起伏。

  • a、b 水平线：定义了通带最大增益与阻带最大允许增益，称为“模板边界”。

    • a：通带最大增益。
    • b：阻带最大允许增益。

模板边界用于明确滤波器性能要求，通常在频率响应图中标出。

设计方法

  1. 编写技术指标（Cahier des charges）

  2. 归一化与转换：将实际问题转换为标准归一化低通滤波器（Passe-bas normalisé, PBN）问题。

  3. 选择响应类型 根据需求选择滤波器响应特性：

    • Butterworth（平滑响应，无波纹）

    • Chebyshev（具有通带或阻带波纹，过渡带更陡）

    • Bessel（群延迟最小，保形性好）

  4. 选择电路结构

    • 被动结构（passif）：仅使用电感、电容、电阻

    • 有源结构（actif）：含运算放大器等有源元件

  5. 多项式确定：使用标准表格（1阶和2阶）确定归一化低通滤波器的传递函数 \[ H_{L P N}(S)=\prod_i \frac{\left|s_i\right|^2}{\left(S-s_i\right)\left(S-\overline{s_i}\right)} \]

  6. 反归一化，计算实际的传递函数形式

  7. 确定电路结构：选择合适的电路拓扑结构（如Sallen-Key、Biquad等）。

  8. 确定电路元件参数：电感、电容和电阻的值

滤波器的归一化

将各种不同类型的滤波器统一转化为标准低通滤波器（PBN）进行分析，从而简化设计与计算。

PBN的传递函数应该为：

\[ H_{P B N}(S)=\prod_i \frac{\left|s_i\right|^2}{\left(S-s_i\right)\left(S-\overline{s_i}\right)} \]

低通滤波器

归一化操作将滤波器的截止频率\(f_0\)映射为1，其余频率按比例缩放。具体公式为：

\[ S = \frac{s}{\omega_0}, \quad X_1 = \frac{f_1}{f_0} \]

映射后，截止频率为1，带阻起始频率为\(X_1\)。

高通滤波器

与低通滤波器类似。具体公式为： \[ S = \frac{\omega_0}{s}, \quad X_1 = \frac{f_0}{f_1} \]

通过将\(p替换为\frac{\omega_0}{p}\)，可以实现高通滤波器和低通滤波器互换。

\[ H(p)=\frac{\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2}{1+\left(\frac{p}{Q \omega_0}\right)+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2} \quad \stackrel{p \Rightarrow \frac{\omega_0}{p}}{\longrightarrow} \quad H(p)=\frac{1}{1+\frac{p}{Q}+p^2} \]

带通滤波器

需要同时考虑两个截止频率\(f_1\)和\(f_2\)，其中心频率为：

\[ f_0 = \sqrt{f_1 f_2} = \sqrt{f_1'f_2'} \]

带宽标准化变换公式为：

\[ \omega \to \frac{\omega_0}{2\pi B} \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \]

其中，带宽\(B\)为：

\[ B = f_2 - f_1 \]

归一化后截止频率为：

\[ X_1 = \frac{f_2' - f_1'}{f_2 - f_1} \]

归一化低通滤波器的阶数为\(n\)，对应的带通滤波器的阶数为\(2n\)。

带阻滤波器

带阻滤波器的归一化与带通滤波器类似。公式为：

\[ \begin{gathered} f_0=\sqrt{f_1 f_2} \\ \omega \rightarrow \frac{2 \pi B^{\prime}}{\omega_0} \cdot\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)^{-1} \\ X_1=\frac{f_2-f_1}{f_2^{\prime}-f_1^{\prime}} \end{gathered} \]

响应类型的选择

巴特沃斯滤波器（Filtre de Butterworth） \[ H(p)=\frac{K}{1+(-1)^n p^{2 n}} \]

  • 在零频处增益最大；

  • 通带中保持最大平坦度（critère de méplat），无波动；

  • 衰减随频率单调增加。

切比雪夫滤波器（Filtre de Chebyshev）

\[ |H(\omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon^2 T_n^2(\omega)} \begin{cases}T_n(x)=\cos (\arccos x) & \mathrm{x} \leq 1 \\ T_n(x)=\operatorname{ch}(\arg \operatorname{ch} x) & \mathrm{x}>1\end{cases} \]

  • 通带中允许等波纹（ripples）

  • 相比Butterworth，过渡带更陡峭，选择性更强；

  • 衰减速度快于Butterworth，但不平坦。

贝塞尔滤波器（Filtre de Bessel）

\[ H(p) \approx e^{-p} \quad \longrightarrow \quad H(p)=\frac{1}{B_n(p)} \]

  • 最为线性的相位响应，适用于对相位敏感的应用。
类别 巴特沃斯滤波器（Butterworth） 切比雪夫滤波器（Chebyshev） 贝塞尔滤波器（Bessel）
优点 - 通带内响应曲线非常平坦
- 良好的传播时间特性
- 计算简便		 - 对于同阶滤波器，具有最陡峭的截止特性 - 在给定阶数下，通带内相位最线性
缺点 - 截止陡峭程度中等
- 归一化通带内衰减固定为 -3dB		 - 通带内存在波动
- 通带传播时间依赖于频率		 - 截止陡峭性差
阶数计算 \(n \ge \dfrac{\ln \left(10^{b/10} - 1 \right)}{2 \ln(X_1)}\) \(n \ge \dfrac{\cosh^{-1} \left( \sqrt{\dfrac{10^{b/10} - 1}{10^{a/10} - 1}} \right)}{\cosh^{-1}(X_1)}\) —
应用 - 测量设备（如电压表） - 抑制靠近有用信号频率的干扰信号 - 信号传输系统

有源/无源滤波器

无源滤波器（Filtres passifs） 有源滤波器（Filtres actifs）
组件 使用 R、L、C：体积大、昂贵、调节困难 R、C 即可：体积小、成本低、易于集成与调节
增益 无放大功能，Q 值较低 可放大，Q 值更高
负载依赖性 滤波器特性依赖于负载 滤波器特性与负载无关
电源 不需要电源 必须要有电源
噪声性能 被动元件噪声小 有源器件可能带来噪声干扰
对元件的敏感性 对元件变化不太敏感（低或中） 对元件变化更敏感

有源滤波器结构

Structure Biquad

\[ \begin{array}{llc} H_{L P}(s)=K \frac{\omega_0^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} & \omega_0=\frac{1}{C \sqrt{R_2\left(R_4+5 \mathrm{k} \Omega\right)}} & K=-\frac{R_2}{R_1}\left(\frac{R_X}{R_Y}\right) \\ H_{B P}(s)=K^{\prime} \frac{s \frac{\omega_0}{Q}}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} & Q=\frac{R_3}{\sqrt{R_2\left(R_4+5 \mathrm{k} \Omega\right)}}\left(\frac{R_Y}{R_X}\right) & K^{\prime}=-\frac{R_3}{R_1} \end{array} \]

Structure Sallen-Key

Passe-bas:

\[ C_{n, i}=\frac{K_{n, i}}{R \omega_0} \]

Passe-haut :

\[ R_{n, i}=\frac{1}{K_{n, i} C \omega_0} \]

Structure de Rauch

\[ H(p)=-\frac{R^2 C p}{C^2 R_1 R_2 p^2+C R_1 p+1+\frac{R_1}{R_3}} \quad \longrightarrow\left\{\begin{array}{l} \omega_0=\frac{\sqrt{1+\frac{R_1}{R_3}}}{C \sqrt{R_1 R_2}} \\ Q=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{R_2}{R_1}\left(1+\frac{R_1}{R_3}\right)} \end{array}\right. \]