RM5 Erlang 容量

流量、容量和 QoS

  • 覆盖的维度设计：
    • 确保在小区边缘的用户能够以较高概率解码信号，同时考虑干扰的影响。
    • 例如，2G 网络中，使用 200 kHz 带宽的用户发射功率为 1W 时，\(N=7\) 的簇覆盖半径为 1.8 公里，\(N=9\) 的簇覆盖半径为 2 公里。
  • 服务质量 (QoS)：
    • 用户感知的质量与服务类型相关，因此有服务质量 (QoS) 的定义：
      • 语音呼叫的阻塞率。
      • 数据服务（如邮件、网页）的传输时间。
  • 流量分析的必要性：
    • 需要明确每种服务的流量特性及其资源需求。

→无记忆性，泊松过程和马尔可夫链

无记忆性

若随机变量 \(X\) 表示某事件的持续时间，当以下条件成立时，称 \(X\) 具有无记忆性：\(P(X > x + t | X > t) = P(X > x)\)

对于任意具有无记忆性的随机变量 \(X\)，如果我们定义 \(F(t) = P(X > t)\)，则存在一个常数 \(\lambda > 0\)，使得 \(F(t) = e^{-\lambda t}\)。

换言之，\(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布。

指数分布的性质：

  • 概率密度函数：\(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\)。
  • 均值与标准差：均值 \(1/\lambda\)，标准差 \(1/\lambda\)。

泊松过程

泊松过程是一种定义在 \(\mathbb{R}^+\) 上的点过程，表示一系列事件的到达时间 \(T_1, T_2, T_3, \dots\)，其中：\(\tau_n = T_n - T_{n-1}\) 是相邻到达时间的间隔（interrival times）。 泊松强度为 \(\lambda > 0\) 的泊松过程是一个点过程，其到达间隔 \(\tau_n\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布。

对于泊松分布：

  • 在不相交的时间区间内，事件的到达数量相互独立。

  • 任意区间 \((s, t]\) 内的到达事件数 \(N(s, t)\) 是一个服从参数为 \(\lambda (t - s)\) 的泊松随机变量，满足：

    \[ P(N(s, t) = n) = \frac{[\lambda (t-s)]^n e^{-\lambda (t-s)}}{n!} \]

泊松过程的当前状态不影响未来状态。

马尔可夫链

一系列随机变量 \(X_0, X_1, \dots\)，取值于状态空间 \(E\)，若满足无记忆性，则称其为马尔可夫链。

如果马尔可夫链的转移概率与时间无关，则称为齐次马尔可夫链：

\[ P(X_{n+1} = y \mid X_n = x) = P(X_1 = y \mid X_0 = x) = q(x, y), \quad \forall n \geq 0 \]

转移概率 \(q(x, y)\) 完全描述了链的动态行为，且满足：

\[ \forall x \in E, \quad \sum_{y \in E} q(x, y) = 1 \]

平稳分布 \(p(x)\) 满足平衡方程：

\[ \sum_{y \in E} p(y) q(y, x) = \sum_{y \in E} p(x) q(x, y) \]

即一个状态的输出频率等于输入频率。

呼叫过程

假设

系统中的呼叫到达是一个具有强度 \(\lambda\) （单位：呼叫/秒）的泊松过程。每次通话的持续时间服从参数为 \(\mu = \frac{1}{T}\) 的指数分布。

对于 \(n\) 个活跃用户，存在 \(n\) 个独立的随机变量，表示每个通话的剩余时间。这些变量服从参数为 \(\mu\) 的指数分布。

系统最多可支持 \(K\) 个并发呼叫，每个呼叫的服务时间平均为 \(T\) 。

状态转移

  1. 从状态 \(n \to n-1\) ：任意一个计时器到期时发生，转移率为 \(n\mu\) 。
  2. 从状态 \(n \to n+1\) ：新的呼叫到达时发生，转移率为 \(\lambda\) 。

系统可建模为连续时间马尔可夫链，状态转移率 \(q_{ji}\) 完全描述了链的行为。

系统平衡方程与状态概率计算

平衡方程：

\[ p_i \sum_{j \neq i} q_{ij} = \sum_{j \neq i} p_j q_{ji} \]

初始条件：

\[ p_0 \lambda = \frac{p_1}{T} \implies p_1 = p_0 \lambda T \]

递归计算：

\[ p_n = \frac{p_{n-1} \lambda T}{n} = p_0 \frac{(\lambda T)^n}{n!} \]

归一化条件与状态概率：

\[ \sum_{n=0}^K p_n = 1 \implies p_n = \frac{\frac{(\lambda T)^n}{n!}}{\sum_{m=0}^K \frac{(\lambda T)^m}{m!}} \]

阻塞概率（Erlang-B公式）

  • 流量强度与阻塞：
    • 流量强度 \(E = \lambda T\) （单位：Erlang）。
    • 如果新的呼叫到来时所有电路均被占用，则该呼叫被阻塞。
  • 阻塞概率：

\[ B = \frac{\frac{(\lambda T)^K}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{(\lambda T)^m}{m!}} =\frac{\frac{E}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{E}{m!}} \]

  • 即\(B = p_k\)。

Erlang容量

无论是模型针对流量还是服务，爱尔兰容量由以下三个要素描述：

  • 流量 Trafic：例如，一个爱尔兰单位的流量（\(E\)）。
  • 服务质量 QoS：例如，目标阻塞率 （\(B\)）。
  • 资源 Ressources：即物理容量，例如通路的数量 （\(K\)）。

模型建立了流量、QoS 和资源三者之间的联系。知道其中两个顶点即可计算第三个。

\[ B = \frac{\frac{(\lambda T)^K}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{(\lambda T)^m}{m!}} =\frac{\frac{E}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{E}{m!}} \]

2G无线接入与频谱复用的GSM容量计算

频率与时隙划分

  • 频分多址（FDMA）：
    • 总带宽被划分为多个子带，每个子带宽度为 200 kHz。
  • 时分多址（TDMA）：
    • 一个帧持续 4.62 ms，划分为 8个时隙，每个时隙 0.5775 ms。
    • 调制方式为 GMSK（1比特/符号）。
    • 每个时隙传输 156比特，总速率为 270 Kbps。
    • 其中有用比特为 114比特，对应 200 Kbps 的有效速率。
    • 每个子带最多支持 7个用户（1个时隙用于信令，确保链路建立）。

频谱复用

  • 通过频谱复用模式（如1/3或1/7）来降低同频干扰。但需减少每个小区可用的频谱资源。
    • 1/3复用：每个小区可用频谱为总频谱的1/3。
    • 1/7复用：每个小区可用频谱为总频谱的1/7。

GSM小区容量示例

  • 问题描述：
    • 某GSM运营商有10 MHz频谱，使用1/9频谱复用模式。
    • 要求最大允许阻塞率为1%时，计算该小区的爱尔兰容量。
  • 计算步骤：

    1. 频段数量：总频谱带宽为10 MHz，每个频段宽度为200 kHz。

      \[ \text{频段数} = \frac{10\ \text{MHz}}{200\ \text{kHz}} = 50 \]

    2. 总时隙数：每个频段有7个时隙。

      \[ \text{总时隙数} = 50 \times 7 = 350 \]

    3. 小区内时隙数：复用因子为9，每个小区可用的时隙为：

      \[ K = \frac{350}{9} \approx 38 \]

    4. 阻塞率为1%时的爱尔兰容量： 查表（Erlang-B表格）得出：

      \[ E = 28\ \text{Erlang} \]

2G中基于EDGE的高效数据流量技术

EDGE技术的特性

EDGE (Enhanced Data Rates for GSM Evolution) 提供了增强的数据传输速率。

  • 某些时隙专用于数据传输。
  • 一个用户可以独占所有时隙，也可以共享时隙。

不同版本的EDGE使用不同的调制与编码方案：

  • 8-PSK：早期版本，3比特/符号，对应速率为 60 Kbit/s/slot。
  • 32-QAM：改进版（Evolved EDGE），5比特/符号，对应速率为 100 Kbit/s/slot。

调制与编码的选择：取决于小区的大小和干扰水平，即 信噪干扰比 (SINR)。

数据流量与质量模型：处理器共享模型

  • 数据流量的特性：
    • 与语音业务不同，数据流量的呼叫具有弹性 élastiques ，取决于分配的带宽。
    • 性能主要取决于文件传输的平均时长，或者等效的平均数据速率。
  • 影响用户数据速率的因素：
    1. 无线链路质量：用SINR表示。
    2. 小区的负载情况。

处理器共享模型

  • 系统具有总容量 \(C\) （单位：比特/秒）。
  • 使用轮询调度 (round robin scheduling) 的方式服务 \(n\) 个用户。
  • 流量（呼叫）到达服从泊松过程，强度为 \(\lambda\) （单位：呼叫/秒）。
  • 每个呼叫的文件大小服从平均为 \(F\) 比特的指数分布。

马尔可夫链

  • 状态 \(n\) 表示系统中有 \(n\) 个活跃流量。
  • 每个流量在状态 \(n\) 时的分配速率为 \(\mu = \frac{C}{F}\) 。

状态转移：

  • 从 \(n \to n+1\) ：流量到达，速率为 \(\lambda\) 。
  • 从 \(n \to n-1\) ：流量完成，速率为 \(n\mu\) 。

整体服务速率：始终保持 \(\mu = \frac{C}{F}\) 。

平衡方程与状态概率

平衡方程：

\[ p_i \sum_{j \neq i} q_{ij} = p_j\sum_{j \neq i} q_{ji} \]

递归求解：

  1. 初始状态 \(p_0\) ：

    \[ p_0 \lambda = p_1 \mu \implies p_1 = p_0 \frac{\lambda}{\mu} \]

  2. 一般递归公式：

    \[ p_n = p_0 \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^n = p_0 \left( \frac{\lambda F}{C} \right)^n \]

  3. 归一化条件：

    \[ \sum_{n=0}^\infty p_n = 1 \implies p_0 = 1 - \rho \]

  4. 其中，系统负载率 \(\rho = \frac{\lambda F}{C}\) 。

最终公式：

\[ p_n = \rho^n (1-\rho) \]

  • 当系统空闲时，所有流量均可处理。
  • 当 \(ρ=1\) 时，系统达到最大负载，对应的最大到达率：

\[ \lambda_{\max }=\frac{C}{F} \]

平均数据速率

用户的服务质量与其观察到的平均数据速率 \(d\) 相关。

  • 在状态 \(n\) ，每个用户的分配速率为 \(\frac{C}{n}\) 。

  • 系统平均数据速率 \(d\) ：

    \[ d = C(1-\rho) = C - \lambda F \]

  • 解释：

    • 系统部分被占用时，剩余的可用容量为 \(C - \lambda F\) 。

EDGE小区的容量计算和用户平均速率计算

假设：

  • GSM运营商拥有10 MHz频谱，使用频率复用因子 \(N = 9\) 。
  • 每时隙平均速率为 \(70 \ \text{Kbps}\) 。
  • 分配给EDGE的资源占40%。

最大数据容量计算：

  • EDGE传输器数量：

    \[ \text{EDGE传输器数} = 0.4 \times \frac{50}{9} = 2.22 \]

    • 其中 \(50 = \frac{10 \ \text{MHz}}{200 \ \text{kHz}}\) 为总频段数。
    • EDGE的总时隙数量：

    \[ \text{总时隙数} = 15 \]

    • 小区容量：

      \[ C = 15 \times 70 = 1050 \ \text{Kbps} \]

假设：

  • 文件传输需求：每分钟5次。
  • 文件平均大小： \(1 \ \text{MB} = 8 \ \text{Mb}\) 。

用户速率计算：

  • 提总流量：

\[ \text{总流量} = 5 \times \frac{8}{60} = 0.667 \ \text{Mbps} \]

  • 系统负载率：

\[ \rho = \frac{0.667}{1.05} = 0.635 \]

  • 用户平均速率：

\[ d = C(1-\rho) = 1050 \times (1 - 0.635) = 384 \ \text{Kbps} \]