RM3 CDMA的性能：误码率，能量控制和容量估计

误码率 Error Probability

噪音 Noise

在信号传输过程中需要考虑噪音的影响。对于单用户在高斯信道上的传输（我们稍后考虑CDMA场景），可假设：

在时间 $k$ 传输的信号记为 $x_k$。
在时间 $k$ 接收的信号为：$y_k = x_k + n_k$。
为简单起见，假设 $x_k$ 仅能取两个值 $A$ 或 $-A$。

其中，其中，$n_k$ 是接收端的噪声。

噪声通常建模为均值为零的高斯变量。
噪声的方差对信号检测有影响：方差越大，检测中的错误越多。

信噪比（SNR）

信噪比是评估接收信号质量的指标，定义为接收功率与噪声功率的比值。SNR高时，误码率低；SNR低时，误码率高。

对于方差为$\sigma^2$的噪音和上述传输信号的建模，有：

\[ S N R=\frac{A^2}{\sigma^2} \]

考虑一个简单的信道，该信道在接收端受到高斯噪声的干扰。
假设发送端发送了一组比特序列：$1 -1 1 1 -1……$ 每个比特/符号的幅度为 $A$，因此序列 $x_k$ 为 $A, -A, A, A, -A, \dots$。
接收信号为：$y_k = x_k + n_k$。其中，$n_k$ 是接收端的噪声（建模为均值为零、方差为 $\sigma^2$ 的高斯变量）。
检测规则：
- 如果 $y_k > 0$，则认为接收信号的最接近值是 $A$，即 $\hat{x}_k = A$。
- 如果 $y_k \leq 0$，则认为接收信号的最接近值是 $-A$，即 $\hat{x}_k = -A$。

误码率的简单建模

误码概率(BER)：

\[ p = P(\hat{x}_k \neq x_k) = P(\hat{x}_k = A | x_k = -A)P(x_k = -A) + P(\hat{x}_k = -A | x_k = A)P(x_k = A) \]

考虑到$n_k$是一个方差为$\sigma^2$的高斯向量：

\[ \begin{gathered}P\left(\hat{x}_k=A \mid x_k=-A\right)=P\left(n_k>A\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} d t \\P\left(\hat{x}_k=-A \mid x_k=A\right)=P\left(n_k \leq-A\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{-A} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} d t\end{gathered} \]

根据高斯分布性质，有：

\[ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_A^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} d t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{-A} e^{-\frac{t^2}{2 \sigma^2}} d t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\frac{A}{\sigma}}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} d t=Q\left(\frac{A}{\sigma}\right)=\mathrm{Q}(\sqrt{S N R}) \]

由此得：

\[ p=2\times\frac{1}{2}\times Q\left(\frac{A}{\sigma}\right) = Q(\sqrt{SNR}) \]

单用户CDMA系统的误码率

首先考虑单用户的 CDMA 系统，假设接收端存在高斯噪声，不考虑多径信道的影响。

用户 $i$ 的发射 CDMA 信号为：

$$ x_k^i c_0^i, x_k^i c_1^i, , x_k^i c_{L-1}^i, x_{k+1}^i c_0^i, x_{k+1}^i c_1^i, , x_{k+1}^i c_{L-1}^i,

每个符号 $x_k$ 的接收信号为：

\[ \underbrace{x_k^i c_0^i+n_{0, k}}_{y_{0, k}^i}, \underbrace{x_k^i c_1^i+n_{1, k}}_{y_{1, k}^i}, \ldots, \underbrace{x_k^i c_{L-1}^i+n_{L-1, k}}_{y_{L-1, k}^i} \]

在接收端，我们将接收信号与码进行相乘：

\[ \begin{aligned}& \frac{1}{L}\left[c_0^i, c_1^i, \ldots, c_{L-1}^i\right]\left[\begin{array}{c}x_k^i c_0^i+n_{0, k} \\\vdots \\x_k^i c_{L-1}^i+n_{L-1, k}\end{array}\right]=\frac{1}{L} x_k \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^i+ \\& \frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}=x_k+\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}\end{aligned} \]

考虑项：

\[ \frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l,k} = n_k \]

$n_{l,k}$ 是零均值、方差为 $\sigma'^2$ 的独立同分布高斯随机变量。
可以证明，$\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l,k}$ 是一个高斯变量，其：
- 均值：$\mathbb{E} \left( \frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l,k} \right) = \frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i \mathbb{E}(n_{l,k}) = 0$
- 方差：
  
  \[ \begin{aligned} & \mathbb{E}\left(\left(\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}\right)^2\right)-\left(\mathbb{E}\left(\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}\right)\right)^2=\mathbb{E}\left(\left(\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}\right)^2\right)= \\ & \frac{1}{L^2} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{l^{\prime}=0}^{L-1} c_l^i c_{l^{\prime}}^i \mathbb{E}\left(n_{l^{\prime}, k} n_{l, k}\right)=\frac{1}{L^2} \sum_{l=0}^{L-1}\left(c_l^i\right)^2 \mathbb{E}\left(\left(n_{l, k}\right)^2\right)=\frac{1}{L} \sigma^{\prime 2} \end{aligned} \]

也就是说：

\[ \frac{1}{L} [c_0^i, c_1^i, \ldots, c_{L-1}^i] \begin{bmatrix} x_k^i c_0^i + n_{0,k} \\ \vdots \\ x_k^i c_{L-1}^i + n_{L-1,k} \end{bmatrix} = x_k + \frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l,k} = x_k + n_k \]

$n_k$ 是一个零均值、方差为 $\frac{1}{L} \sigma'^2$ 的高斯随机变量。

检测规则与无 CDMA 情况下相同：

如果 $z_k > 0$，则 $\hat{x}_k = A$；
如果 $z_k \leq 0$，则 $\hat{x}_k = -A$。

由于形式与无CDMA情况相同：$z_k = x_k + n_k$

误码率与无 CDMA 情况相同（但此时噪声的方差为 $\frac{1}{L} \sigma'^2$）。
误码率为：

\[ P_e = Q\left(\sqrt{\text{SNR}}\right), \quad \text{其中 } \text{SNR} = \frac{L A^2}{\sigma'^2} \]
值得注意的是，$A^2$ 是信号的功率，记为 $P$。

但是，虽然看起来我们的SNR增大了$L$倍，这是不真实的。

在 CDMA 系统中，所占带宽 $B'$ 与 $\frac{1}{T_c} = \frac{L}{T_s}$ 成正比，即带宽 $B'$ 被扩展为 $B' = L B$，其中 $B$ 是应用 CDMA 之前原始信号的带宽。

每个 $n_{l,k}$ 的方差为 $\sigma'^2 = \frac{N_0}{2} \times B'$，其中 $B'$ 是占用带宽，$N_0$ 是噪声功率谱密度。
因此，方差 $\sigma'^2$ 比窄带信号中的噪声方差 $\sigma^2$ 大 $L$ 倍。此时信噪比为 $L \frac{A^2}{\sigma'^2}$，但分母比原始窄带信号高 $L$ 倍。因此，CDMA 在单用户情况下，当噪声是大带宽噪声（例如白噪声）时，并未带来任何增益。

在噪声不是大带宽噪声的情况下（即噪声仅出现在信号带宽的一小部分上）：

每个 $n_{l,k}$ 的方差为 $\sigma'^2 = \frac{N_0}{2} \times B'$，其中 $B'$ 是噪声占用的带宽（为窄带，且 $B' \approx B$），$N_0$ 是噪声功率谱密度。

因此，方差 $\sigma'^2$ 在这种情况下等于窄带信号中的噪声方差（即没有 CDMA 的情况）。
信噪比为：

\[ L \frac{A^2}{\sigma'^2} \approx L \frac{A^2}{\sigma^2} \]
这意味着信噪比是没有 CDMA 的系统的 $L$ 倍。因此，CDMA 在单用户情况下，当噪声为窄带时会带来增益。

多用户CDMA系统的误码率

现在让我们考虑 $N$ 个用户的多用户场景。

假设 CDMA 码是随机独立同分布（i.i.d.）的：即每个码 $c_l^i$ 的元素是随机生成的，服从均值为零、方差为 1 的 i.i.d. 分布。
- 即不同的码是独立的，每个码的不同元素也相互独立。
假设简单的高斯信道模型：即没有多径，信道的影响在接收端简化为高斯噪声。

时刻 $k$ 的接收信号为：

\[ \underbrace{\sum_{i=1}^N x_k^i c_0^i+n_{0, k}}_{V_{0, k}}, \underbrace{\sum_{i=1}^N x_k^i c_1^i+n_{1, k}}_{y_{1, k}}, \ldots, \underbrace{\sum_{i=1}^N x_k^i c_{L-1}^i+n_{L-1, k}}_{y_{L-1, k}} \]

在接收端，为解码用户 $i$ 的信号，将接收信号与码 $c^i$ 相乘：

\[ \begin{aligned}& \frac{1}{L}\left[c_0^i, c_1^i, \ldots, c_{L-1}^i\right]\left[\begin{array}{c}\sum_{i=1}^N x_k^i c_0^i+n_{0, k} \\\vdots \\\sum_{i=1}^N x_k^i c_{L-1}^i+n_{L-1, k}\end{array}\right]=\frac{1}{L} x_k^i \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^i+ \\& \frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N x_k^j \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j+ \frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}=x_k^i+\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N x_k^j \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j+\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l, k}\end{aligned} \]

其中，$\frac{1}{L} \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i n_{l,k}$ 已证明服从均值为 $0$、方差为 $\frac{\sigma'^2}{L}$ 的高斯分布。

假设干扰被视为高斯变量（因为它是独立同分布随机变量之和）。

干扰的均值和方差如下：

均值：

\[ E\left(\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N x_k^j \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j\right)=\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N E\left(x_k^j\right) \sum_{l=0}^{L-1} E\left(c_l^i\right) E\left(c_l^j\right)=0 \]
方差：

\[ \begin{aligned}& E\left(\left(\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N x_k^j \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j\right)^2\right)-\left(E\left(\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N x_k^j \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j\right)\right)^2=E\left(\left(\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N x_k^j \sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j\right)^2\right)= \\& \frac{1}{L^2} \sum_{j \neq i}^N E\left(\left(x_k^j\right)^2\right) \sum_{l=0}^{L-1} E\left(\left(c_l^i\right)^2\right) E\left(\left(c_l^j\right)^2\right)=\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N A^2\end{aligned} \]

其中 $A^2$ 是用户 $j$ 的信号功率，一般可写为：$\frac{1}{L} \sum_{j \neq i} p_j$，其中 $p_j$ 是用户 $j$ 的信号功率。

因此，经过码 $c^i$ 处理后，信号可写为：$z_k = x_k + n_k$。

其中 $n_k$ 是干扰和噪声之和，其服从均值为 0、方差为：$\frac{1}{L} \sum_{j \neq i} A^2 + \frac{\sigma'^2}{L}$。

误码率为：

\[ P_e=Q(\sqrt{S I N R})，S I N R=\frac{A^2}{\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N A^2+\frac{\sigma^2}{L}} \]

其中SINR可以称为信干噪比。

考虑不同$E_b/N_0$和不同用户数量下的比特误码率BER。其中，$E_b=A^2 T_S$：每比特的能量；$N_0$：噪声谱密度。

方差：$\sigma'^2 = \frac{N_0}{2} B' = \frac{N_0}{2} \frac{L}{T_s}$，只考虑正带宽所以除以$2$。

\[ \operatorname{SINR} =\frac{A^2}{\frac{1}{L} \sum_{j \neq i}^N A^2+\frac{\sigma^2}{L}}=2 \frac{E_b}{N_0} \frac{1}{2 \frac{N-1 E_b}{L N_0}+1} \]

能量控制和容量估计

CDMA系统容量

系统容量定义为小区中可以同时活动的用户/码的数量。

我们已经看到用户数量不能超过 $L$。

除此之外，当用户的速率不同（即不同的码长度 $L_i$）时，用户数量受到以下不等式的限制

\[ \sum_{i=1}^G \frac{K_i}{L_i} \leq 1 \]

其中，$K_i$ 是使用码长度为 $L_i$ 的用户数，$G$ 是使用的 CDMA 码长度的种类数。

实际中（如 3G），容量通常不受上述不等式的限制，而是受到用户之间干扰的限制。

如前所述，干扰是由于码之间的正交性在实践中会丧失（例如，由于多径信道）。
为了分析容量，我们需要首先在 CDMA 蜂窝系统中考虑一个功率控制问题，通过解决该问题，找到提供系统容量的条件。

功率控制问题建模

假设一个蜂窝网络由一个半径为 $r$ 的小区组成，$K$ 个用户随机分布在小区中。

考虑上行链路，用户使用正交 CDMA 码同时传输数据。正如之前所述，接收信号之间存在干扰。

每个用户以功率 $p_i$ 发送信号。用户 $i$ 的信号以功率 $p_{r,i} = p_i g_i$ 被接收，其中 $g_i$ 是用户 $i$ 和基站之间的信道系数。
用户 $i$ 信号的干扰由以下公式给出：

\[ \theta \sum_{j \neq i} p_j g_j \]

其中，$\theta$ 是一个表示 CDMA 码正交性丧失的因子。

接收的每比特信干噪比 (SINR) 为：

\[ \operatorname{SINR}_i=\frac{W}{R_i} \frac{p_i g_i}{\theta \sum_{j \neq i}^K p_j g_j+\sigma^2} \quad \text { for } i=1, \ldots, K \]

其中：
- $W = 3.84 \, \text{Mchip/s}$ 是码片速率
- $R_i$ 是比特率
- $\sigma^2$ 是噪声功率
- 可以看出 $\frac{W}{R_i} = \frac{T_c}{T_s} = L$

如果用户 $i$ 接收到的 SINR 高于或等于预定义阈值 $\gamma_i$，则基站能够以可接受的比特错误率 (BER) 解码信号。

观察到以下特点。

信噪比 (SNR) 或信干噪比 (SINR) 与 BER 之间存在关系。
从 SINR 表达式可以看出，如果用户 $i$ 的功率增加，其 SINR 增加，但对其他用户施加的干扰也会增加，从而降低其他用户的 SINR。

功率控制的目标：为每个用户分配适当的功率，使所有用户的 SINR 等于预定义目标 $\gamma_i$。

该问题可表述为：

\[ \operatorname{SINR}_i=\frac{W}{R_i} \frac{p_i g_i}{\theta \sum_{j \neq i}^K p_j g_j+\sigma^2}=\gamma_i \text { for } i=1, \ldots, K \]

这可写为一组线性方程：

\[ p_i g_i=\frac{R_i \gamma_i}{W}\left(\theta \sum_{j \neq i}^K p_j g_j+\sigma^2\right) . \]

功率控制框架

前述方程组可以用矩阵形式表示为：

\[ (I-F) P=u \text { where } P=\left[p_1, \ldots, p_K\right]^T ; \mathbf{u}=\left[\frac{R_1 \gamma_1 \sigma^2}{W g_1}, \ldots, \frac{R_K \gamma_K \sigma^2}{W g_K}\right]^T \]

$I$ 是单位矩阵
$F$被如下定义：

\[ F_{i j}=\left\{\begin{array}{cc}0 & \text { for } i=j \\\theta \frac{R_i \gamma_i g_j}{W g_i} & \text { for } i \neq j\end{array}\right. \]
可以看出 $F$ 是一个不可约矩阵）。

如果 $F$ 是非负不可约矩阵，则方程 $(I - F)P = u$ 有解，当且仅当 $\rho(F) < 1$，其中 $\rho(F)$ 是矩阵 $F$ 的谱半径（即特征值的最大绝对值）：解为：

\[ P=(I-F)^{-1} u \]

关于不可约矩阵 isIrreducible

一个 $n \times n$ 矩阵 $F$ 被称为可约矩阵，当且仅当存在一个置换矩阵 $P$，使得矩阵 $P^T F P$ 是块上三角形式

\[ P^T F P = \begin{pmatrix} F_1 & F_2 \\ 0 & F_3 \end{pmatrix} \]

如果一个方阵不可约，则称其为不可约矩阵。

满足以下条件的 $n \times n$ 矩阵 $F$ 是等价的：

$F$ 是不可约矩阵；

与 $F$ 相关联的有向图（digraph）是强连通的；

对任意 $i$ 和 $j$，存在 $k$ 使得 $(F^k)_{ij} > 0$。

功率控制问题的可行性决定了 CDMA 的容量。

如果 $\rho(F) \geq 1$，则系统不可行，即至少有部分用户的 SINR 无法高于或等于目标值 $\gamma_i$。因此，需要减少用户数量或降低 $\gamma_i$。

也就是说，条件 $\rho(F) < 1$ 决定了系统容量。

迭代求解方法

使用前述功率控制框架分配功率的公式为：

\[ P = (I - F)^{-1}u \]

这需要对一个 $K \times K$ 的矩阵进行求逆运算（当用户数量 $K$ 较大时，复杂度较高）。
因此，可以采用以下迭代方法（$t$ 为迭代次数索引）：

\[ p_i(t+1) = \frac{R_i \gamma_i}{W g_i} \left( \theta \sum_{j \neq i} p_j(t) g_j + \sigma^2 \right), \quad \forall i \]
该方法收敛于以下固定点：

\[ p_i = \frac{R_i \gamma_i}{W g_i} \left( \theta \sum_{j \neq i} p_j g_j + \sigma^2 \right), \quad \forall i \]
这与以下目标 SINR 表达式等价：

\[ \operatorname{SINR}_i=\frac{W}{R_i} \frac{p_i g_i}{\theta \sum_{j \neq i}^K p_j g_j+\sigma^2}=\gamma_i \quad \forall i \]

参见可能会有的TP笔记。

3G中的功率控制

从前述可以看出，迭代算法通过以下方式调整功率：
- 如果实际 SINR 小于目标值，则增加功率；
- 如果实际 SINR 大于目标值，则减少功率。
实际应用中使用类似的功率控制方法：
- 每个用户以功率 $P(t)$ 发送信号；
- 接收端比较 $\text{SINR}(t)$ 和目标值 $\text{SINR}_{\text{target}}$；
- 发送端根据比较结果调整分配功率 $P(t) \pm \Delta_{\text{TPC}}$。
接收端估计接收功率和当前频段的总干扰，生成信干噪比 (SINR)：

\[ \text{SINR}_{\text{est}} = \text{SINR}(t) \]

每隔 $0.667 \, \text{ms}$（即一个时隙），接收端生成 TPC（传输功率控制）指令：
- 若 $\text{SINR}{\text{est}} < \text{SINR}{\text{target}}$，则 $\text{TPC} = 0$；
- 若 $\text{SINR}{\text{est}} > \text{SINR}{\text{target}}$，则 $\text{TPC} = 1$。
发射端根据 TPC 指令调整专用物理信道的功率：
- 如果 $\text{TPC} = 1$，则降低功率 $P - \Delta_{\text{TPC}}$；
- 如果 $\text{TPC} = 0$，则增加功率 $P + \Delta_{\text{TPC}}$。
$\Delta_{\text{TPC}}$ 的步长可以根据小区不同而变化，典型范围为：$\Delta_{\text{TPC}} \in [0.25, 1.5] \, \text{dB}$