补充壹：完全顺磁性晶体

完全顺磁性晶体

考虑一个由$N$个自旋为$1/2$的原子组成的完美晶体。在外部磁场$B$中，根据量子力学，磁矩对$B$的投影只能取两个值$+\mu$和$-\mu$。对应的内容分别为$\varepsilon{+}=-\mu B$和$\varepsilon{-}=\mu B$。

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状态数，概率和分布

总的能量为：

$$E=n_{+} \varepsilon_{+}+n_{-} \varepsilon_{-}=\mu B\left(n_{-}-n_{+}\right)=\mu B\left(N-2 n_{+}\right)$$

尽管很明显总的状态数为$2^n$，但从能量的角度来看，存在大量的简并态。实际上总的状态数为：

$$\Omega(E)=C_N^{n_{+}}=C_N^{\frac{N}{2}-\frac{E}{2 \mu B}}$$

每种状态的概率为：

$$P\left(n_{+}\right)=C_N^{n_{+}} \cdot p_{+}^{n_{+}} \cdot\left(1-p_{+}\right)^{N-n_{+}}$$

考虑概率最大的$n^+$取值：

$$\frac{d \ln P}{d n_{+}}=0 \Rightarrow n_{+\max }=p_{+} . N$$

二次分布可以在粒子数足够多的时候转化为正态分布：

$$P\left(n_{+}\right) \simeq \frac{1}{\sqrt{2 . \pi} \sigma} \cdot \exp \left(-\frac{\left(n_{+}-n_{+\max }\right)^2}{2 . \sigma^2}\right)$$

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温度

我们希望计算温度。由于磁场中的孤立晶体没有能量交换和物质交换，使用微正则系综，温度是熵对能量的偏导：

$$\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{\partial S}{\partial n_{+}} \frac{\partial n_{+}}{\partial E}=$$

考虑熵的表示，由于能量被写作$n+$的函数，我们希望熵也可以被写作$n+$的函数：

$$S=k \ln \Omega = kln(C_{N}^{n_+})$$

得到温度：

$$\frac{1}{T}=k \ln \frac{N-n_{+}}{n_{+}} \frac{1}{-2 \mu B}$$

• 这里能量可以为负，这与能量可能为正（不稳定情况）或负（稳定情况）有关。
• 实际上，负温度对应于更热的物体，即具有更大的、正的能量，如果一个物体的温度是负的，它将向正温度的物体传递能量。

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磁矩

考虑使用温度表示$n_+$:

$$n_{+}=N \frac{\exp \frac{\mu B}{k T}}{2 c h \frac{\mu B}{k T}}$$

考虑总磁矩：

$$M=n_{+} \mu+n_{-}(-\mu)=\mu\left(n_{+}-n_{-}\right)=(-M B)=N \mu t h \frac{\mu B}{k T}$$

满足loi de Curie：

$$\chi=\lim _{B \rightarrow 0} \frac{\partial M}{\partial B} \simeq \frac{\alpha}{T}$$

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