补充壹：完全顺磁性晶体
补充壹：完全顺磁性晶体
完全顺磁性晶体
考虑一个由\(N\)个自旋为\(1/2\)的原子组成的完美晶体。在外部磁场\(B\)中，根据量子力学，磁矩对\(B\)的投影只能取两个值\(+\mu\)和\(-\mu\)。对应的内容分别为\(\varepsilon_{+}=-\mu B\)和\(\varepsilon_{-}=\mu B\)。
状态数，概率和分布
总的能量为：
\[ E=n_{+} \varepsilon_{+}+n_{-} \varepsilon_{-}=\mu B\left(n_{-}-n_{+}\right)=\mu B\left(N-2 n_{+}\right) \]
尽管很明显总的状态数为\(2^n\)，但从能量的角度来看，存在大量的简并态。实际上总的状态数为：
\[ \Omega(E)=C_N^{n_{+}}=C_N^{\frac{N}{2}-\frac{E}{2 \mu B}} \]
每种状态的概率为：
\[ P\left(n_{+}\right)=C_N^{n_{+}} \cdot p_{+}^{n_{+}} \cdot\left(1-p_{+}\right)^{N-n_{+}} \]
考虑概率最大的\(n^+\)取值：
\[ \frac{d \ln P}{d n_{+}}=0 \Rightarrow n_{+\max }=p_{+} . N \]
二次分布可以在粒子数足够多的时候转化为正态分布：
\[ P\left(n_{+}\right) \simeq \frac{1}{\sqrt{2 . \pi} \sigma} \cdot \exp \left(-\frac{\left(n_{+}-n_{+\max }\right)^2}{2 . \sigma^2}\right) \]
温度
我们希望计算温度。由于磁场中的孤立晶体没有能量交换和物质交换，使用微正则系综，温度是熵对能量的偏导：
\[ \frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{\partial S}{\partial n_{+}} \frac{\partial n_{+}}{\partial E}= \]
考虑熵的表示，由于能量被写作\(n_+\)的函数，我们希望熵也可以被写作\(n_+\)的函数：
\[ S=k \ln \Omega = kln(C_{N}^{n_+}) \]
得到温度：
\[ \frac{1}{T}=k \ln \frac{N-n_{+}}{n_{+}} \frac{1}{-2 \mu B} \]
- 这里能量可以为负，这与能量可能为正（不稳定情况）或负（稳定情况）有关。
- 实际上，负温度对应于更热的物体，即具有更大的、正的能量，如果一个物体的温度是负的，它将向正温度的物体传递能量。
磁矩
考虑使用温度表示\(n_+\):
\[ n_{+}=N \frac{\exp \frac{\mu B}{k T}}{2 c h \frac{\mu B}{k T}} \]
考虑总磁矩：
\[ M=n_{+} \mu+n_{-}(-\mu)=\mu\left(n_{+}-n_{-}\right)=(-M B)=N \mu t h \frac{\mu B}{k T} \]
满足loi de Curie：
\[ \chi=\lim _{B \rightarrow 0} \frac{\partial M}{\partial B} \simeq \frac{\alpha}{T} \]
