量子简谐系统的波函数 Wavefunctions for the Harmonic Oscillator
量子简谐系统的波函数 Wavefunctions for the Harmonic Oscillator
量子谐振子的波函数
🐈⬛ 根据波函数的定义, $\phi_n(x)$ 表示态 $|n\rangle$ 在位置 $x$处的波函数值。因此, $\phi_n(x)=\langle x \mid n\rangle$,即态$|n\rangle$ 在位置 $x$ 处的波函数就是态 $|n\rangle$ 和位置本征态 $|x\rangle$的内积。
基态波函数
首先考虑湮灭算子:
对于谐振子系统的基态$|n\rangle = |0\rangle$,有其在位置$x$上的投影$|x\rangle\langle x|\widehat a |0\rangle = |x\rangle\langle x|\varnothing\rangle = |\varnothing\rangle$,或者写作标量形式$\langle x \mid \varnothing\rangle=0$。又因为,$\phi_n(x)=\langle x \mid n\rangle$,得到基态波函数$\phi_0(x)=\langle x \mid 0\rangle$。综合得:
将湮灭算子带入得:
可以求出基态波函数:
通过波函数的归一性求解$A$:
得:
其概率密度为波函数的平方:
进一步求解其他能量本征态的波函数
应用创生算子:
得第一能量本征态波函数:
或者可以直接写出第n阶能量本征态的波函数:
从波函数得到的一些结论
最低能量不为零的另一种解释
根据不确定性原理,基态的位移不能为零。位置概率密度有一个有限的扩展。由于波函数必须在大位移处消失,并且它必须在某处非零,因此必然存在曲率。因此,二阶导数不为零,因而平均动能不为零。
波函数的奇偶性
本征波函数是奇偶的。其奇偶性由$𝑛$给出。因此,概率密度始终是偶的。
Hermite多项式(Polynômes d’Hermite)
波函数可以用Hermite多项式表示:
动能算符和位置算符的平均值
简谐系统的均值将非常容易计算。因为可以使用创生算子和湮灭算子表示波函数
然后可以依次计算均值,以动量为例。根据本征态之间呈正交关系,动量的均值为$0$:
考虑动量平方的均值,这将跟动能相关:
在上述计算中,$\langle n|\widehat{a} \widehat{a}| n\rangle$和$\left\langle n\left|\widehat{a}^{\dagger} \widehat{a}^{\dagger}\right| n\right\rangle$返回分别将右矢转化为$|n+2\rangle$和$|n-2\rangle$,从而根据本征态的正交性将其消除。
最小波包
🐈⬛ 最小波包的定义通常是一个波函数在某个特定的态下,它在位置和动量空间中的不确定度取得最小值的状态。
🐈⬛ 对于谐振子基态$|0⟩$,位置和动量的不确定度的乘积被称为零点振动(zero-point oscillation)或零点波包(zero-point wavepacket)。对于谐振子,零点波包就是最小波包。
与上一节类似,分别考察位置算符和动量算符的基态方差。两种平方和均值的推导过程十分容易,且已经在上一节中展示,不再此赘述。
对于位置算符:
对于动能算符:
从而得到最小波包:
示例:三维简谐子
对于一个势能如下表示的简谐子,我们逐渐研究其性质:
哈密顿算子和特征值
从哈密顿算子的一般形式出发:
根据薛定谔方程:
在三维中展开:
由简谐子能量本征值公式:
得哈密顿算子得本征值:
由此,哈莫顿量的本征态必须由三个量子数来描述。式中,$\left|n_i\right\rangle$分别为$n_i$的本征态。
本征态描述
由于每个本征态都可以从基态应用创生算子得到,首先我们考虑基态$\left|n_x = 0, n_y = 0, n_z = 0\right\rangle$
根据创生算子的效果:
有对于单个维度:
同时有:
同理,对于其他维度:
综上,得任何一个量子态与基态得关系:
能级的退化
相比于一维简谐子,三维简谐子的本征态与三个量子数相关,但当三个量子数的和相等时,能量相等。这意味着退化状态的发生。
对于能量$E_n$,讨论其中能量相等的本征态数量:
其中,$n=\frac{E_n}{\hbar \omega}-\frac{3}{2}$。简并性来自于系统的球对称性,或者说在起初的假设中,当三个量子数的和相等时,能量相等的性质即来自于球对称性。
计算位置平方的均值
使用创生算符和湮灭算符表示位置和动量,有:
首先考虑一维情况。
其均值:
对于湮灭算符或者创生算符,有:
因此,均值:
将三个维度的均值叠加:
计算动量平方的均值
根据一维的哈密顿算符:
有动量的均值:
其中,哈密顿算符的均值为:
因此得到动量的均值为:
三维动量的均值:
最后从动量的均值得到动能的均值:
可以发现正好为总能量的一半。
最小波包
对于简谐子,其动能和位移的均值都为零,因此有:
对应的三维空间的动能和位移:
波包:
可见最小的标准偏差乘积来自于基态时的$\frac{3\hbar}{2}$,这是三个维度不确定度的叠加。
示例:可行的跃迁
电子在受到激发后,可能会从能级$n$跃迁到$n^\prime$。在这个过程中,如果跃迁的概率$\left|\left\langle n|\widehat{x}| n^{\prime}\right\rangle\right|^2$不为零,则认为跃迁是可以发生的。
使用湮灭算符和创生算符表示位移:
因此,电子只能跃迁到上下两个相近的轨道。