量子/经典力学联系 Le lien classique-quantique
量子/经典力学联系 Le lien classique-quantique
埃伦费斯特 Ehrenfest 定理
埃伦费斯特定理的推导
期望取决于所考虑的量子态,如果量子态与时间相关,则期望也取决于时间。我们考虑期望值随时间的演变:
应用薛定谔方程$-i \hbar \partial_t(\langle\psi(t)|)=\langle\psi(t)| \widehat{H}$ 替换方程中的波函数的导数项:
从而得到:
这就是埃伦费斯特在1927年提出的埃伦费斯特定理。如果可观测量不依赖于时间,则有:
埃伦费斯特定理中的经典/量子力学联系
以动能为例,假设在一个系统中,势能只取决于时间:
$(2)$式可以被是为哈密顿方程中有关动量式子的量子力学等价。→ 哈密顿方程如下:
考虑势能算符和力算符的关系,有:
尽管将其写作了力的形式,由于在此公式中,涉及的是动量的期望值,而期望值的时间导数并不等于期望位置处的力。只有在力的期望值和位置的期望值处的力变得相似时,经典意义上的轨迹现象才会逐渐明晰。
如果力在可以找到粒子的区域中几乎没有变化,则两种类型的力估计是等效的。
时间-能量不确定度关系
考虑体系随时间演化的薛定谔方程:
量子力学公设 Les postulats de la mécanique quantique
跟据谱分解原理:
和特征值方程:
薛定谔方程 The Schrödinger Equation
有:
通过$(3)$可以解出$c_m$,代入谱分解原理方程:
考虑连续情况:
跟据傅里叶变化的展宽定理,如果一个函数在时域中具有特征大小为 $Δx$,则在频域中至少需要具有波矢谱的展宽 $Δk ≈ 1/Δx$ 才能准确地描述该函数的频谱特性。在我们的问题中,由此可以推得能量-时间不确定度:
如果存在$Δε\neq 0$,那么粒子就不处于一个“定态”。它将具有由 $Δt/Δε$ 给出的特征演化时间。相反,如果一个物理系统的特性在 $Δt \neq 0$ 的时间尺度上发生变化,那么它的能量值将不会比一个特征范围 $Δε ≈ \hbar/Δt$ 更好地定义。
自由波包的展宽
跟据埃伦费斯特原理,有:
期望和方差-探究$\sigma_x$与$\sigma_p$的关系-定域性-高斯波包的例子
积分可得:
进一步的根据啊埃伦费斯特原理,有:
相同的方式得:
波包展宽: