量子/经典力学联系 Le lien classique-quantique

🐈‍⬛ 简单来说，本章主要设计是个涉及埃洛菲斯特定理得推导和应用，以及综合之前得内容得一系列推导。可以看作对之前内容的一个复习。

埃伦费斯特 Ehrenfest 定理

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埃伦费斯特定理的推导

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期望取决于所考虑的量子态，如果量子态与时间相关，则期望也取决于时间。我们考虑期望值随时间的演变：

$$\begin{aligned}\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{A}| \psi(t)\rangle)= & \left(\frac{d}{d t}\langle\psi(t)|\right) \widehat{A}|\psi(t)\rangle \\& +\left\langle\psi(t)\left|\left(\frac{\partial}{\partial t} \widehat{A}\right)\right| \psi(t)\right\rangle+\langle\psi(t)| \widehat{A}\left(\frac{d}{d t}|\psi(t)\rangle\right)\end{aligned}$$

应用薛定谔方程$-i \hbar \partial_t(\langle\psi(t)|)=\langle\psi(t)| \widehat{H}$ 替换方程中的波函数的导数项：

$$\begin{aligned}\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{A}| \psi(t)\rangle)= & \left\langle\psi(t)\left|\left(\frac{\partial}{\partial t} \widehat{A}\right)\right| \psi(t)\right\rangle \\& +\left\langle\psi(t)\left|\left(\frac{-\widehat{H}}{i \hbar}\right) \widehat{A}\right| \psi(t)\right\rangle+\left\langle\psi(t)\left|\widehat{A}\left(\frac{\widehat{H}}{i \hbar}\right)\right| \psi(t)\right\rangle \end{aligned}$$

从而得到：

$$\begin{align}\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{A}| \psi(t)\rangle)=\left\langle\psi(t)\left|\frac{\partial}{\partial t} \widehat{A}\right| \psi(t)\right\rangle+\left\langle\psi(t)\left|\frac{1}{i \hbar}[\widehat{A}, \widehat{H}]\right| \psi(t)\right\rangle\end{align}$$

这就是埃伦费斯特在1927年提出的埃伦费斯特定理。如果可观测量不依赖于时间，则有：

$$\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{A}| \psi(t)\rangle)=\left\langle\psi(t)\left|\frac{1}{i \hbar}[\widehat{A}, \widehat{H}]\right| \psi(t)\right\rangle$$

埃伦费斯特定理中的经典/量子力学联系

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以动能为例，假设在一个系统中，势能只取决于时间：

$$\begin{align}\nonumber\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{p_x}| \psi(t)\rangle)&=\left\langle\psi(t)\left|\frac{1}{i \hbar}[\widehat{p_x}, \widehat{H}]\right| \psi(t)\right\rangle\\\nonumber&= \left\langle\psi(t)\left|\frac{1}{i \hbar}[\widehat{p_x},{\frac {\hat p}{2m}+\hat{V}(r)}]\right| \psi(t)\right\rangle\\\nonumber& =\left\langle\psi(t)\left|\frac{1}{i \hbar}[\widehat{p_x},{\hat{V}(r)}]\right| \psi(t)\right\rangle \\& =\left\langle\psi(t)\left|-\vec{\nabla}_r \widehat{V}(\boldsymbol{r})\right| \psi(t)\right\rangle \end{align}$$

$(2)$式可以被是为哈密顿方程中有关动量式子的量子力学等价。→ 哈密顿方程如下：

$$\begin{aligned}\dot{p} & =-\vec{\nabla}_{\boldsymbol{x}} \mathcal{H}\end{aligned}$$

考虑势能算符和力算符的关系，有：

$$\begin{aligned}\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{p}| \psi(t)\rangle) & =\langle\psi(t)|F(\widehat{x})| \psi(t)\rangle \\ & \neq F(\langle\psi(t)|\widehat{x}| \psi(t)\rangle) \end{aligned}$$

尽管将其写作了力的形式，由于在此公式中，涉及的是动量的期望值，而期望值的时间导数并不等于期望位置处的力。只有在力的期望值和位置的期望值处的力变得相似时，经典意义上的轨迹现象才会逐渐明晰。

$$\begin{aligned}\langle F(x)\rangle=\int \rho(x) F(x) d x & \approx \int_{\delta x} \rho(x) F(x) d x \\& =F\left(x_0\right) \int_{\delta x} \rho(x) d x \\& \approx F\left(x_0\right) \approx F(\langle x\rangle)\end{aligned}$$

如果力在可以找到粒子的区域中几乎没有变化，则两种类型的力估计是等效的。

时间-能量不确定度关系

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🐈‍⬛ 值得一体的是，能量-时间不确定的的解释和证明有很多争议，但过于复杂，暂时假设下文的解释和证明是正确的。

考虑体系随时间演化的薛定谔方程：

量子力学公设 Les postulats de la mécanique quantique

$$i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\psi(t)\rangle=\widehat{H}(t)|\psi(t)\rangle$$

跟据谱分解原理：

$$|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(t)\left|\varphi_n\right\rangle$$

和特征值方程：

薛定谔方程 The Schrödinger Equation

$$\widehat{H}\left|\varphi_n\right\rangle=\varepsilon_n\left|\varphi_n\right\rangle$$

有：

$$\begin{align}\left\langle\varphi_m\left|i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right| \psi(t)\right\rangle=\left\langle\varphi_m|\widehat{H}| \psi(t)\right\rangle\Longleftrightarrow i \hbar \frac{\mathrm{d} c_m}{\mathrm{~d} t}=\varepsilon_m c_m(t)\end{align}$$

通过$(3)$可以解出$c_m$，代入谱分解原理方程：

$$|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(0) e^{-i \varepsilon_n t / \hbar}\left|\varphi_n\right\rangle$$

考虑连续情况：

$$|\psi(t)\rangle=\int c(\varepsilon, 0) e^{-i \varepsilon t / \hbar}\left|\varphi_{\varepsilon}\right\rangle \mathrm{d} \varepsilon$$

跟据傅里叶变化的展宽定理，如果一个函数在时域中具有特征大小为 $Δx$，则在频域中至少需要具有波矢谱的展宽 $Δk ≈ 1/Δx$ 才能准确地描述该函数的频谱特性。在我们的问题中，由此可以推得能量-时间不确定度：

$$\Delta \varepsilon \Delta t \gtrsim \hbar$$

如果存在$Δε\neq 0$，那么粒子就不处于一个“定态”。它将具有由 $Δt/Δε$ 给出的特征演化时间。相反，如果一个物理系统的特性在 $Δt \neq 0$ 的时间尺度上发生变化，那么它的能量值将不会比一个特征范围 $Δε ≈ \hbar/Δt$ 更好地定义。

自由波包的展宽

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跟据埃伦费斯特原理，有：

期望和方差-探究$\sigma_x$与$\sigma_p$的关系-定域性-高斯波包的例子

$$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle x\rangle=\frac{1}{i \hbar}\langle[\widehat{x}, \widehat{H}]\rangle=\frac{1}{m}\langle p\rangle \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle p\rangle=-\langle\nabla V(x)\rangle=0\end{array}\right.$$

积分可得：

$$\langle x\rangle=\frac{1}{m}\langle p\rangle_0\left(t-t_0\right)+\langle x\rangle_0$$

进一步的根据啊埃伦费斯特原理，有：

$$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left\langle x^2\right\rangle=\frac{1}{i \hbar}\left\langle\left[\widehat{x}^2, \widehat{H}\right]\right\rangle=\frac{1}{m}\langle x p+p x\rangle \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle x p+p x\rangle=\frac{1}{i \hbar}\langle[\widehat{x} \widehat{p}+\widehat{p} \widehat{x}, \widehat{H}]\rangle=\frac{2}{m}\left\langle p^2\right\rangle \\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left\langle p^2\right\rangle=\frac{1}{i \hbar}\left\langle\left[\widehat{p}^2, \widehat{H}\right]\right\rangle=0\end{array}\right.$$

相同的方式得：

$$\left\langle x^2\right\rangle=\frac{1}{m}\left\langle p^2\right\rangle_0\left(t-t_0\right)^2+\langle x p+p x\rangle_0\left(t-t_0\right)+\left\langle x^2\right\rangle_0$$

波包展宽：

$$\begin{aligned}(\Delta x)^2= & \left\langle x^2\right\rangle-\langle x\rangle^2 \\= & \frac{1}{m^2}(\Delta p)_0^2\left(t-t_0\right)^2 +\frac{1}{m}\left(\langle x p+p x\rangle_0-2\langle p\rangle_0\langle x\rangle_0\right)\left(t-t_0\right)+(\Delta x)_0^2\\=&\frac{1}{m^2}(\Delta p)_0^2 t^2+(\Delta x)_0^2\end{aligned}$$