稳态微扰理论 Théorie des perturbations stationnaires
稳态微扰理论 Théorie des perturbations stationnaires
稳态微扰理论用于解决含有微弱扰动的系统的问题。在这种方法中,系统的哈密顿量可以分解为两部分:一个是我们已经熟悉的,称为基态哈密顿量,而另一个是微扰哈密顿量,用来描述我们添加的微小扰动。这个方法的目标是通过微扰哈密顿量的小参数来展开能量和波函数,以便在扰动项较小的情况下解出系统的性质。
问题描述
对于无扰动的粒子:
其中,$\widehat H_0$被称为基态哈密顿量,$\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle$被称为基态,$\varepsilon_j^{(0)}$被称为基态能量。
当粒子受到扰动:$\widehat{W}=\eta \widehat{V}$,薛定谔方程转化为:
得到新的本征态和本征能量。
解决思路
使用受到不同扰动得态和能量表示最终的本征态和本征能量:
得到新的薛定谔方程:
我们来看几个具体的例子。
- 对于零阶的情况:
- 对于一阶的情况:
证明过程很简单,展开即可。
对于一阶的情况还可以考虑其总的概率密度为1:
忽略$\eta^2$对应的项,有:
并近似认为第一项远大于第二项,从而有:
非退化的情况
对于非退化的情况,有$\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle\ne\left|\psi_i^{(0)}\right\rangle \quad si \quad i\ne j$。使用非退化的基表示本征态:
先考虑一阶的情况。由于$\left\langle\psi_i^{(1)} \mid \psi_i^{(0)}\right\rangle=0$,有:
回想一阶的薛定谔方程:
向$\left\langle\psi_k^{(0)}\right|$投影:
- 第一项和第三项得:$\sum{j \neq i} c_j^{(1)}\left(\varepsilon_j^{(0)}-\varepsilon_i^{(0)}\right) \delta{j, k}$
- 第二项暂时不可求
- 第四项得:$\varepsiloni^{(1)} \delta{i, k}$
从而得到:
- $k = i$时,$\varepsilon_i^{(1)}=\left\langle\psi_i^{(0)}|\widehat{V}| \psi_i^{(0)}\right\rangle$,$\varepsilon \approx \varepsilon_i^{(0)}+\eta\left\langle\psi_i^{(0)}|\widehat{V}| \psi_i^{(0)}\right\rangle$
- $k \ne i$时,$ck^{(1)}=\frac{\left\langle\psi_k^{(0)}|\widehat{V}| \psi_i^{(0)}\right\rangle}{\varepsilon_i^{(0)}-\varepsilon_k^{(0)}}$,$|\psi\rangle \approx\left|\psi_i^{(0)}\right\rangle+\eta \sum{k \neq i} \frac{\left\langle\psi_k^{(0)}|\widehat{V}| \psi_i^{(0)}\right\rangle}{\varepsilon_i^{(0)}-\varepsilon_k^{(0)}}\left|\psi_k^{(0)}\right\rangle$
直接给出二阶结果:
兼并情况
兼并情况下,存在多个能量相同的状态,某一基态可以表示为:
在一阶,同样考虑薛定谔方程在$\left\langle\psi_{i,g}^{(0)}\right|$的投影:
- 第一项和第三项显然为0
- 第二项和第四项:$\sum{g^{\prime}} \alpha{i, g^{\prime}}\left\langle\psi{i, g}^{(0)}|\widehat{V}| \psi{i, g^{\prime}}^{(0)}\right\rangle-\alpha{i, g^{\prime}}^{(1)} \delta{g, g^{\prime}}$
总的薛定谔方程转化为:
展开为:
写作矩阵表示:
即可得能量。
一个简单的示例
考虑一个二维势阱:
- 对于第一能级,是一个非简并的状态,$\varepsilon1^{(0)}=\varepsilon{1,1}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{m a^2}$
- 对于第二能级,是一个兼并的状态,$\varepsilon2^{(0)}=\varepsilon{1,2}=\varepsilon_{2,1}=\frac{5 \pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}$
考虑一个干扰:$W(x, y)=\eta V(x,y) = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \eta \delta\left(x-x_0\right) \delta\left(y-y_0\right)$
考虑矩阵表示:
为了简单,考虑二阶情况
分别计算几个$V_{i,j}$
得:
计算本征值:
得到:
计算本征向量: