旋转系统 Rotating Systems
旋转系统 Rotating Systems
刚体的能量通常由两部分描述:平移动能$\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}$和旋转动能$\frac{\boldsymbol{L}^2}{2 I}$,其中$p$被称为动量,而$L$被称为角动量。本章讨论量子力学体系中的角动量。
角动量算子
角动量算子的定义
角动量使用相对旋转轴的位置和动量之间的叉乘定义:
因此,可以使用位置算子和动量算子来定义角动量算子:
对位置向量和动量向量的空间反演$(\theta \rightarrow \pi-\theta ; \varphi \rightarrow \varphi+\pi)$不会改变角动量算子。因此,对于任何反演算子$\widehat{\Pi} f(\theta, \varphi)=f(\pi-\theta, \varphi+\pi)$,有:
角动量的对易性
由于位置算子和动量算子不是对易的,不同方向的角动量算子之间也不会是对易的:
展开对易子:
同时有:
根据广义海森堡不确定性原理,有:
因此,不同方向的角动量不能被同时精确测量。
考虑角动量的平方模量与某一方向角动量的对易子:
同时有:
可见,尽管不能同时知道角动量分量,但单个分量与平方模量兼容。因此,关于角动量可获得的知识至多是在一个特定轴及其范数上的投影。
角动量的本征值和本征态
研究纯旋转体的角动量问题,纯旋转体的动能只有角动量动能,没有平动动能。
由于不同方向的角动量分量之间不对易,寻找角动量的共同本征态是有意义的。纯旋转问题的CSCO(可交换观测量的完全集合)是角动量平方算子$\widehat{L}^2$和某一方向角动量算子$\widehat{L}_z$的共同本征态:$\left{\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right}$。这两个特征值具备的信息可以被认为完全确认旋转体的状态。
假设 $\widehat{L}^2, \widehat{L}_z$ 两者的本征值分别为:$\lambda^2, \mu$,对应的本征态为$\left| \lambda, \mu \right\rangle$,则有:
值得一提的是,假设 $\left|\lambda^2, \mu\right\rangle$ 是CSCO基于仅了解 $\widehat{L}^2, \widehat{L}_z$ 就足以确定量子的状态,但这是未必的。目前,我们假设 $\left{\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right}$ 是合法的 CSCO,并且将本征态写为:$\left| \lambda, \mu \right\rangle$ 就足够了。
本征值的性质
角动量平方算符始终大于 $Z$ 分量的平方算符:$\lambda^2 \geqslant \mu^2$。这很好理解,因为角动量平方算符包含了所有方向的角动量,而 $Z$ 分量的平方算符只包含了一个方向的角动量。可以通过下式定量证明:
$\widehat{L}^2-\widehat{L}z^2$可以被写作两个新的互为伴随的角动量算子的均值。
由于$\widehat Lx$和$\widehat L_y$是厄米的,因此$\widehat L+$和$\widehat L_-$不可能是厄米的。因此,这两个算符不可能与可观测量相关联。
新定义的两个算子被称为阶梯算子opérateurs d’échelle,其中$\widehat L+$被称为升算子,$\widehat L-$被称为降算子。它们在角动量中的作用类似于创生/湮灭算子在震动问题中的作用。
注意,阶梯算符改变$z$方向角动量算子的本征值而不是角动量平方算子的本征值。
其中,$c+$和$c-$由正则化条件求得。
它们与原本的两个算符的对易子:
- $\widehat{L}{+}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=c{+}\left|\lambda^2, \mu+1\right\rangle \quad \text { and } \quad \widehat{L}{-}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=c{-}\left|\lambda^2, \mu-1\right\rangle$
$\left[\widehat{L}^2, \widehat{L}_{ \pm}\right]=0$
根据阶梯算符与$z$方向角动量算子的对易子,可以发现$\widehat{L}_{ \pm}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle$是角动量算子的特征向量:
$z$方向的角动量算符的本征值存在取值范围$-n / 2 \leqslant \mu \leqslant n / 2$,$n \in \mathbb{N}$。考虑阶梯算符会改变$\widehat L_z$的本征值。由于$\mu^2<\lambda^2$,一定存在$\mu$的最大值和最小值:
根据已有的性质,可知:
- $\mu{\min }=-\mu{\max }$
$\mu{\max }=\mu{\min }+n \quad \text { with } n \in \mathbb{N}$
从而可以得到:$-n / 2 \leqslant \mu \leqslant n / 2$。
对于$\lambda$为固定值的系统:
本征函数:球谐函数
球坐标系
考虑将角动量的三个分量转化到球坐标系:
→ 引:从直角坐标系到球坐标系的转换矩阵:
角量子数和磁量子数
结论1:$\widehat{L}_z$的特征值是$\hbar$的整数倍
球坐标系下的$\widehat{L}z$被表示为:$-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}$。假设函数$\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi)$是$\widehat{L}_z$的本征函数$\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi)=\left\langle\theta, \varphi \mid \mu{\max }, \mu\right\rangle$。则有:
一种非退化的解的形式为:
在三维空间中,围绕$z$轴旋转$2\pi$,空间不发生变换。表现相同对称性的条件是: $\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi+2 \pi)=\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi)$ 。条件 $\exp (i 2 \mu \pi)=1$ 只有在 $\mu \in \mathbb{Z}$ 时才能满足。因此$\widehat{L}_z$的特征值必须是整数。
设$\mu{max} =l,\mu = m_l$,$\widehat{L}^2$和$\widehat{L}z$共享的本征态可以写成$\left|\ell, m{\ell}\right\rangle$,其中$-|\ell| \leqslant m{\ell} \leqslant |\ell|$。其中$l$被称为角量子数nombre quantique orbital,$m_l$被称为磁量子数nombre quantique magnétique。
🐈⬛ 值得注意的是,在这种定义下,原本的$\lambda^2 = l(l+1)$
球谐函数
结论2:CSCO$\left{\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right}$的特征函数是球谐函数
已知$\widehat{L}_{+}|\ell, \ell\rangle=|\varnothing\rangle$,代入$\widehat L_x$和$\widehat L_y$在球坐标系的表述,有:
同时根据$\psi(\theta, \varphi)=A(\theta) \exp (i l \varphi)$,有:
可得一个解:
然后在这个解上应用降算子即可得到其他磁量子数对应的解:
最终解可以写作:
角动量例题:证明方法
角动量算子