旋转系统 Rotating Systems

刚体的能量通常由两部分描述：平移动能$\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}$和旋转动能$\frac{\boldsymbol{L}^2}{2 I}$，其中$p$被称为动量，而$L$被称为角动量。本章讨论量子力学体系中的角动量。

角动量算子

角动量算子的定义

角动量使用相对旋转轴的位置和动量之间的叉乘定义：

$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$

因此，可以使用位置算子和动量算子来定义角动量算子：

$\begin{aligned}& \widehat{L}_x=\widehat{y} \widehat{p}_z-\widehat{z} \widehat{p}_y=-i \hbar\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right) \\& \widehat{L}_y=z \widehat{p}_x-\widehat{x} \widehat{p}_z=-i \hbar\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right) \\& \widehat{L}_z=\widehat{x} \widehat{p}_y-\widehat{y} \widehat{p}_x=-i \hbar\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right)\end{aligned}$

对位置向量和动量向量的空间反演$(\theta \rightarrow \pi-\theta ; \varphi \rightarrow \varphi+\pi)$不会改变角动量算子。因此，对于任何反演算子$\widehat{\Pi} f(\theta, \varphi)=f(\pi-\theta, \varphi+\pi)$，有：

$[\widehat{\Pi}, \widehat{\boldsymbol{L}}]=0$

角动量的对易性

由于位置算子和动量算子不是对易的，不同方向的角动量算子之间也不会是对易的：

$\left[\widehat{L}_x, \widehat{L}_y\right]=-i\hbar\left[\widehat{y} \hat{p}_z-\widehat{z} \hat{p}_y, z \hat{p}_x-\widehat{x} \hat{p}_z\right]$

展开对易子：

$\begin{aligned}{\left[\widehat{L}_x, \widehat{L}_y\right] } & =\left(\widehat{y} \widehat{p}_z-\widehat{z} \widehat{p}_y\right)\left(\widehat{z} \widehat{p}_x-\widehat{x} \widehat{p}_z\right)-\left(\widehat{z} \widehat{p}_x-\widehat{x} \widehat{p}_z\right)\left(\widehat{y} \widehat{p}_z-\widehat{z} \widehat{p}_y\right) \\& =\widehat{z} \widehat{x} \widehat{p}_y \widehat{p}_z-\widehat{x} \widehat{p}_z \widehat{z} \widehat{p}_y+\widehat{y} \widehat{p}_z \widehat{z} \widehat{p}_x-\widehat{z} \widehat{y} \widehat{p}_x \widehat{p}_z \\& =i \hbar\left(\widehat{x} \widehat{p}_y-\widehat{y} \widehat{p}_x\right)=i \hbar \widehat{L}_z\end{aligned}$

同时有：

$\left[\widehat{L}_y, \widehat{L}_z\right]=i \hbar \widehat{L}_x \quad \text { and } \quad\left[\widehat{L}_z, \widehat{L}_x\right]=i \hbar \widehat{L}_y$

根据广义海森堡不确定性原理，有：

$\Delta_\psi\left(L_x\right) \Delta_\psi\left(L_y\right) \geqslant \frac{\hbar}{2}\left\langle L_z\right\rangle_\psi$

因此，不同方向的角动量不能被同时精确测量。

考虑角动量的平方模量与某一方向角动量的对易子：

$\begin{aligned} {\left[\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right] } & =\left[\widehat{L}_x^2, \widehat{L}_z\right]+\left[\widehat{L}_y^2, \widehat{L}_z\right]+\left[\widehat{L}_z^2, \widehat{L}_z\right] \\ & =\widehat{L}_x\left[\widehat{L}_x, \widehat{L}_z\right]+\left[\widehat{L}_x, \widehat{L}_z\right] \widehat{L}_x+\widehat{L}_y\left[\widehat{L}_y, \widehat{L}_z\right]+\left[\widehat{L}_y, \widehat{L}_z\right] \widehat{L}_y \\ & =-i \hbar \widehat{L}_x \widehat{L}_y-i \hbar \widehat{L}_y \widehat{L}_x+i \hbar \widehat{L}_y \widehat{L}_x+i \hbar \widehat{L}_x \widehat{L}_y=0 \end{aligned}$

同时有：

$\left[\widehat{L}^2, \widehat{L}_x\right]=0 \quad \text { and } \quad\left[\widehat{L}^2, \widehat{L}_y\right]=0$

可见，尽管不能同时知道角动量分量，但单个分量与平方模量兼容。因此，关于角动量可获得的知识至多是在一个特定轴及其范数上的投影。

角动量的本征值和本征态

研究纯旋转体的角动量问题，纯旋转体的动能只有角动量动能，没有平动动能。

由于不同方向的角动量分量之间不对易，寻找角动量的共同本征态是有意义的。纯旋转问题的CSCO(可交换观测量的完全集合)是角动量平方算子$\widehat{L}^2$和某一方向角动量算子$\widehat{L}_z$的共同本征态：$\left{\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right}$。这两个特征值具备的信息可以被认为完全确认旋转体的状态。

假设 $\widehat{L}^2, \widehat{L}_z$ 两者的本征值分别为：$\lambda^2, \mu$，对应的本征态为$\left| \lambda, \mu \right\rangle$，则有：

$\widehat{L}^2\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=\lambda^2 \hbar^2\left|\lambda^2, \mu\right\rangle \quad \text { and } \quad \widehat{L}_z\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=\mu \hbar\left|\lambda^2, \mu\right\rangle$

值得一提的是，假设 $\left|\lambda^2, \mu\right\rangle$ 是CSCO基于仅了解 $\widehat{L}^2, \widehat{L}_z$ 就足以确定量子的状态，但这是未必的。目前，我们假设 $\left{\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right}$ 是合法的 CSCO，并且将本征态写为：$\left| \lambda, \mu \right\rangle$ 就足够了。

本征值的性质

角动量平方算符始终大于 $Z$ 分量的平方算符：$\lambda^2 \geqslant \mu^2$。这很好理解，因为角动量平方算符包含了所有方向的角动量，而 $Z$ 分量的平方算符只包含了一个方向的角动量。可以通过下式定量证明：
$\lambda^2 \hbar^2-\mu^2 \hbar^2 = \left\langle\lambda^2, \mu\left|\widehat{L}^2-\widehat{L}_z^2\right| \lambda^2, \mu\right\rangle=\left\langle\lambda^2, \mu\left|\widehat{L}_x^2+\widehat{L}_y^2\right| \lambda^2, \mu\right\rangle \geqslant 0$

$\widehat{L}^2-\widehat{L}z^2$可以被写作两个新的互为伴随的角动量算子的均值。
$\widehat{L}^2-\widehat{L}z^2=\widehat{L}x^2+\widehat{L}y^2=\frac{1}{2}\left(\widehat{L}{+} \widehat{L}{-}+\widehat{L}{-} \widehat{L}{+}\right)\quad with \quad \widehat{L}_{+}=\widehat{L}_x+i \widehat{L}y ,\ \ \widehat{L}{-}=\widehat{L}_x-i \widehat{L}_y$
由于$\widehat Lx$和$\widehat L_y$是厄米的，因此$\widehat L+$和$\widehat L_-$不可能是厄米的。因此，这两个算符不可能与可观测量相关联。

新定义的两个算子被称为阶梯算子opérateurs d’échelle，其中$\widehat L+$被称为升算子，$\widehat L-$被称为降算子。它们在角动量中的作用类似于创生/湮灭算子在震动问题中的作用。

注意，阶梯算符改变$z$方向角动量算子的本征值而不是角动量平方算子的本征值。

其中，$c+$和$c-$由正则化条件求得。

它们与原本的两个算符的对易子：
- $\widehat{L}{+}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=c{+}\left|\lambda^2, \mu+1\right\rangle \quad \text { and } \quad \widehat{L}{-}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=c{-}\left|\lambda^2, \mu-1\right\rangle$
- $\left[\widehat{L}^2, \widehat{L}_{ \pm}\right]=0$
  
  根据阶梯算符与$z$方向角动量算子的对易子，可以发现$\widehat{L}_{ \pm}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle$是角动量算子的特征向量：
  $\widehat{L}_z \widehat{L}_{ \pm}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=\left( \pm \hbar \widehat{L}_{ \pm}+\widehat{L}_{ \pm} \widehat{L}_z\right)\left|\lambda^2, \mu\right\rangle=( \pm 1+\mu) \hbar \widehat{L}_{ \pm}\left|\lambda^2, \mu\right\rangle$

$z$方向的角动量算符的本征值存在取值范围$-n / 2 \leqslant \mu \leqslant n / 2$，$n \in \mathbb{N}$。考虑阶梯算符会改变$\widehat L_z$的本征值。由于$\mu^2<\lambda^2$，一定存在$\mu$的最大值和最小值：

根据已有的性质，可知：
- $\mu{\min }=-\mu{\max }$
- $\mu{\max }=\mu{\min }+n \quad \text { with } n \in \mathbb{N}$
  
  从而可以得到：$-n / 2 \leqslant \mu \leqslant n / 2$。

对于$\lambda$为固定值的系统：

本征函数：球谐函数

球坐标系

考虑将角动量的三个分量转化到球坐标系：

$\begin{aligned}& \widehat{L}_x=i \hbar\left(\sin \varphi \frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos \varphi}{\tan \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\& \widehat{L}_y=i \hbar\left(-\cos \varphi \frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\sin \varphi}{\tan \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\& \widehat{L}_z=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}\end{aligned}$

→ 引：从直角坐标系到球坐标系的转换矩阵：

$\left(\begin{array}{l}\partial / \partial r \\\partial / \partial \theta \\\partial / \partial \varphi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\r \cos \theta \cos \varphi & r \cos \theta \sin \varphi & -r \sin \theta \\-r \sin \theta \sin \varphi & r \sin \theta \cos \varphi & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\partial / \partial x \\\partial / \partial y \\\partial / \partial z\end{array}\right)$

角量子数和磁量子数

结论1：$\widehat{L}_z$的特征值是$\hbar$的整数倍

球坐标系下的$\widehat{L}z$被表示为：$-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}$。假设函数$\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi)$是$\widehat{L}_z$的本征函数$\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi)=\left\langle\theta, \varphi \mid \mu{\max }, \mu\right\rangle$。则有：

$-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \psi_{\mu_{\max }, \mu}(\theta, \varphi)=\mu \hbar \psi_{\mu_{\max }, \mu}(\theta, \varphi)$

一种非退化的解的形式为：

$\psi_{\mu_{\max }, \mu}(\theta, \varphi)=A_{\mu_{\max }, \mu}(\theta) \exp (i \mu \varphi)$

在三维空间中，围绕$z$轴旋转$2\pi$，空间不发生变换。表现相同对称性的条件是: $\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi+2 \pi)=\psi{\mu{\max }, \mu}(\theta, \varphi)$ 。条件 $\exp (i 2 \mu \pi)=1$ 只有在 $\mu \in \mathbb{Z}$ 时才能满足。因此$\widehat{L}_z$的特征值必须是整数。

设$\mu{max} =l,\mu = m_l$，$\widehat{L}^2$和$\widehat{L}z$共享的本征态可以写成$\left|\ell, m{\ell}\right\rangle$，其中$-|\ell| \leqslant m{\ell} \leqslant |\ell|$。其中$l$被称为角量子数nombre quantique orbital，$m_l$被称为磁量子数nombre quantique magnétique。

🐈‍⬛ 值得注意的是，在这种定义下，原本的$\lambda^2 = l(l+1)$

球谐函数

结论2：CSCO$\left{\widehat{L}^2, \widehat{L}_z\right}$的特征函数是球谐函数

$\begin{aligned}Y_{\ell}^{m_{\ell}}(\theta, \varphi)= & \frac{(-1)^{\ell+m_{\ell}}}{2^{\ell} \ell!} \sqrt{\frac{(2 \ell+1)}{4 \pi} \frac{\left(\ell-m_{\ell}\right)!}{\left(\ell+m_{\ell}\right)!}} \times \exp \left(i m_{\ell} \varphi\right) \sin _{\ell}^m \theta \frac{d^{\ell+m_{\ell}}}{d(\cos \theta)^{\ell+m_{\ell}}} \sin ^{2 \ell} \theta\end{aligned}$

已知$\widehat{L}_{+}|\ell, \ell\rangle=|\varnothing\rangle$，代入$\widehat L_x$和$\widehat L_y$在球坐标系的表述，有：

$\hbar e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{i}{\tan \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \psi_{\ell, \ell}(r, \theta, \varphi)=0$

同时根据$\psi(\theta, \varphi)=A(\theta) \exp (i l \varphi)$，有：

$e^{i(\ell+1) \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{\ell}{\tan \theta}\right) A(r, \theta)=0$

可得一个解：

$\psi_{\ell, \ell}(r, \theta, \varphi)=f(r) Y_{\ell}^{\ell}(\theta, \varphi)\ with \ Y_{\ell}^{\ell}(\theta, \varphi)=c_{\ell} e^{i \ell \varphi} \sin ^{\ell} \theta$

然后在这个解上应用降算子即可得到其他磁量子数对应的解：

$Y_{\ell}^{m_{\ell}}(\theta, \varphi) \propto \underbrace{\left[e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{i}{\tan \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \cdots e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{i}{\tan \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}\right)\right]}_{\ell-m_{\ell} \text { times }} Y_{\ell}^{\ell}(\theta, \varphi)$

最终解可以写作：

$y_{\ell, m_{\ell}}(\theta, \varphi)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[Y_{\ell}^{-\left|m_{\ell}\right|}(\theta, \varphi)+(-1)^{m_{\ell}} Y_{\ell}^{\left|m_{\ell}\right|}(\theta, \varphi)\right] & \text { si } m_{\ell}>0 \\ Y_{\ell}^0(\theta, \varphi) & \text { si } m_{\ell}=0 \\ \frac{i}{\sqrt{2}}\left[Y_{\ell}^{-\left|m_{\ell}\right|}(\theta, \varphi)-(-1)^{m_{\ell}} Y_{\ell}^{\left|m_{\ell}\right|}(\theta, \varphi)\right] & \text { si } m_{\ell}<0\end{cases}$