算符作用在左矢和右矢上 Action des opérateurs sur les kets et les bras
算符作用在左矢和右矢上 Action des opérateurs sur les kets et les bras
投影算符和闭合关系 Projecteurs et relation de fermeture
引→二维希尔伯特空间的例子
在二维空间中,这两个向量是组成基的两个向量,这个问题相当于:
投影算符 Projecteurs
以一个二维空间为例,向两个基向量的投影如下,可以参考[引→二维希尔伯特空间的例子]
- 投影算符的性质:
- $P{\varphi_1}^2=P{\varphi1}, P{\varphi2}^2=P{\varphi_2}$
闭合关系 Relation de fermeture
- $\sum_n\left|\varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|=\widehat{\mathbb{1}}$
算符的矩阵表示 Représentation matricielle d’un opérateur
非简并的算符的矩阵表示
一个非简并的算符满足:
故其矩阵可以表示为:
注意关系:$\left\langle\varphim|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle=a_n\left\langle\varphi_m \mid \varphi_n\right\rangle=a_n \delta{m n}$
简并的算符的矩阵表示
非简并的算符满足:
考察左侧表达式:
从而得到:
其矩阵表示为:
算符的对易关系
算符的不可对易性
故:
所以量子力学中的算符一般来说是不可对易的。
对易子 Commutateurs
量子算符的对易子被定义为:
如果满足$[\widehat{A}, \widehat{B}]=0$,则两个算符是可对易的(可交换的)。
对易子的计算
对易子计算中非常重要的性质,展开即可证明:l
对易子的应用
- 在本章中,与对易子相关的最重要的性质即为,会在本章的结尾部分加以证明:
共同可对易的可观测量的完全集合 E.C.O.C.
E.C.O.C 定义
$\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} , \widehat{D}$可对易的一组可观测量
态$\left|\phi_i\right\rangle$可以被写成者这组可观测量的共同本征体(同时对角化的感觉):
那么态$\left|\phi_i\right\rangle$就是这组可观测量的共同本征态,如果在这个观察下$\left|\phi_i\right\rangle=\left|a_i, b_i, c_i, d_i\right\rangle$,则称$\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} , \widehat{D}$组成了共同可对易的可观测量的完全集合
势阱的例子
一维势阱
能量的本征值为:
对应的能量本征态:$\left|\varphi_i\right\rangle=\left|\varepsilon_i\right\rangle=\left|n_i\right\rangle$,$\left|n_i\right\rangle$表示例子在第$n_i$个能级上的波函数。在这种情况下,这些所有的本征态都可以用一个整数$n_i$来表示。这个整数构成了ECOC。
二维势阱
能量的本征值为:
其中$n_x$和$n_y$分别是沿着两个坐标轴的量子数。
这是,能量本征态可以表示为$\left|\varphi_i\right\rangle=\left|n_x, n_y\right\rangle=\left|\varepsilon_i, n_y\right\rangle$。无论使用哪种表示,这些态都构成了ECOC。
期望和方差 Valeur moyenne et incertitude
期望 Valeur moyenne
我们使用期望来计算本征态的平均值:$\langle A\rangle_\psi=\sum_n p_n a_n$
将概率分解为态向本征态的投影的平方:$p_n=\left|\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle\right|^2 = \left\langle\psi \mid \varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle$
引入算符表示:$\langle A\rangle\psi=\sum_n\left\langle\psi\left|a_n\right| \varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle =\langle A\rangle\psi=\sum_n\left\langle\psi|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle$
合并求和:$\langle A\rangle_\psi=\left\langle\psi\left|\widehat{A}\left(\sum_n\left|\varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|\right)\right| \psi\right\rangle$
得到期望:
平均标准差 Écart quadratique moyen (incertitude)
平均标准差被定义为:
可进一步化简为:
与期望和方差相关的一个例子
广义海森堡不确定性关系 Relation d’incertitude de Heisenberg généralisée
假设$[\widehat{A}, \widehat{B}]=i \hbar \widehat{C}$,构建:
应有:
从而使得有效值:
带入C:
从而最终得到:
或者写作:
连续基和波函数
连续波函数的表示
连续概率的表示
闭合原理
即总概率为1
位置表示和动量表示
- $\langle x \mid \psi\rangle=\psi(x)$
- $\left\langle p_x \mid \psi\right\rangle=\bar{\psi}\left(p_x\right)$