算符作用在左矢和右矢上 Action des opérateurs sur les kets et les bras

🐈‍⬛ **Ket矢量**：用符号 ( $|\psi\rangle$ ) 表示，是抽象（复数）向量空间中的一个向量。在物理上，它代表某个量子系统的状态。数学上，如果将ket矢量与列向量相对应，ket矢量就是列向量。 **Bra矢量**：用符号 ( $\langle\psi|$ ) 表示，是与ket矢量对偶的线性泛函，即从向量空间到复数的线性映射。在数学上，如果将bra矢量与行向量相对应，bra矢量就是行向量。

投影算符和闭合关系 Projecteurs et relation de fermeture

🐈‍⬛ **投影算符（Projectors）**：在量子力学中，投影算符是指一种作用在希尔伯特空间上的算符，它可以将该空间中的态投影到它的特定的子空间上。 **闭合关系（Relation de fermeture）**：在量子力学中，闭合关系指的是某一组算符的集合，在该集合中进行任意次乘积和求和的操作后得到的结果仍然属于该集合。

引→二维希尔伯特空间的例子

在二维空间中，这两个向量是组成基的两个向量，这个问题相当于：

$$\left(\begin{array}{l}1 \\0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

投影算符 Projecteurs

以一个二维空间为例，向两个基向量的投影如下，可以参考[引→二维希尔伯特空间的例子]

$$\begin{aligned}& P_{\varphi_1}=\left|\varphi_1\right\rangle\left\langle\varphi_1\right|: \text { projecteur sur }\left|\varphi_1\right\rangle \\& P_{\varphi_2}=\left|\varphi_2\right\rangle\left\langle\varphi_2\right|: \text { projecteur sur }\left|\varphi_2\right\rangle\end{aligned}$$

• 投影算符的性质：
  • $P{\varphi_1}^2=P{\varphi1}, P{\varphi2}^2=P{\varphi_2}$

闭合关系 Relation de fermeture

• $\sum_n\left|\varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|=\widehat{\mathbb{1}}$

算符的矩阵表示 Représentation matricielle d’un opérateur

非简并的算符的矩阵表示

一个非简并的算符满足：

$$\widehat{A}\left|\varphi_n\right\rangle=a_n\left|\varphi_n\right\rangle$$

故其矩阵可以表示为：

$$\ widehat{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_n\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} \left\langle\varphi_1|\widehat{A}| \varphi_1\right\rangle & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \left\langle\varphi_2|\widehat{A}| \varphi_2\right\rangle & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \left\langle\varphi_n|\widehat{\widehat{A}}| \varphi_n\right\rangle \end{array}\right)$$

注意关系：$\left\langle\varphim|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle=a_n\left\langle\varphi_m \mid \varphi_n\right\rangle=a_n \delta{m n}$

简并的算符的矩阵表示

非简并的算符满足：

$$\widehat{B}\left|\varphi_n\right\rangle=\sum_m b_{m, n}\left|\varphi_m\right\rangle$$

考察左侧表达式：

$$\begin{aligned} \widehat{B}|\psi\rangle & =\widehat{B} \widehat{\mathbb{1}}|\psi\rangle =\widehat{B}\left(\sum_n\left|\varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|\right)|\psi\rangle \\ & =\left(\sum_n \widehat{B}\left|\varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|\right)|\psi\rangle =\left(\sum_{m, n} b_{m, n}\left|\varphi_m\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|\right)|\psi\rangle \end{aligned}$$

从而得到：

$$\widehat{B}=\sum_{m, n} b_{m, n}\left|\varphi_m\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|$$

其矩阵表示为：

$$\widehat{B}=\left(\begin{array}{cccc} \left\langle\varphi_1|\widehat{B}| \varphi_1\right\rangle & \left\langle\varphi_1|\widehat{B}| \varphi_2\right\rangle & \cdots & \left\langle\varphi_1|\widehat{B}| \varphi_n\right\rangle \\ \left\langle\varphi_2|\widehat{B}| \varphi_1\right\rangle & \left\langle\varphi_2|\widehat{B}| \varphi_2\right\rangle & \cdots & \left\langle\varphi_2|\widehat{B}| \varphi_n\right\rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \left\langle\varphi_n|\widehat{B}| \varphi_1\right\rangle & \left\langle\varphi_n|\widehat{B}| \varphi_2\right\rangle & \cdots & \left\langle\varphi_n|\widehat{B}| \varphi_n\right\rangle \end{array}\right)$$

算符的对易关系

算符的不可对易性

$$\begin{aligned}\widehat{B} \widehat{A}|\psi\rangle & =\left(\sum_{m, n} b_{m, n}\left|\varphi_m\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|\right)\left(\sum_{p, q} a_{p, q}\left|\varphi_p\right\rangle\left\langle\varphi_q\right|\right)|\psi\rangle \\& =\left[\sum_{m, q}\left(\sum_n b_{m, n} a_{n, q}\right)\left|\varphi_m\right\rangle\left\langle\varphi_q\right|\right]|\psi\rangle \\\widehat{A} \widehat{B}|\psi\rangle & =\left[\sum_{m, q}\left(\sum_n a_{m, n} b_{n, q}\right)\left|\varphi_m\right\rangle\left\langle\varphi_q\right|\right]|\psi\rangle\end{aligned}$$

故：

$$\sum_n a_{m, n} b_{n, q} \neq \sum_n b_{m, n} a_{n, q} \Rightarrow \widehat{A} \widehat{B}|\psi\rangle \neq \widehat{B} \widehat{A}|\psi\rangle$$

所以量子力学中的算符一般来说是不可对易的。

对易子 Commutateurs

量子算符的对易子被定义为：

$$[\widehat{A}, \widehat{B}] \triangleq \widehat{A} \widehat{B}-\widehat{B} \widehat{A}$$

如果满足$[\widehat{A}, \widehat{B}]=0$，则两个算符是可对易的(可交换的)。

对易子的计算

对易子计算中非常重要的性质，展开即可证明：l

$$\begin{align}&[\widehat{A}, \widehat{B} \widehat{C}]=\widehat{B}[\widehat{A}, \widehat{C}]+[\widehat{A}, \widehat{B}] \widehat{C},\\& [\widehat{A} \widehat{B}, \widehat{C}]=\widehat{A}[\widehat{B}, \widehat{C}]+[\widehat{A}, \widehat{C}] \widehat{B}\end{align}$$

对易子的应用

• 在本章中，与对易子相关的最重要的性质即为，会在本章的结尾部分加以证明：

$$\begin{align}\left[\widehat{x}, \widehat{p}_x\right]=i \hbar \widehat{\mathbb{1}} \Rightarrow \Delta_\psi x \Delta_\psi p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}\end{align}$$

共同可对易的可观测量的完全集合 E.C.O.C.

🐈‍⬛ 指的是一组物理量，它们之间的所有成对对易子都为零。

E.C.O.C 定义

$\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} , \widehat{D}$可对易的一组可观测量

态$\left|\phi_i\right\rangle$可以被写成者这组可观测量的共同本征体（同时对角化的感觉）：

$$\begin{aligned}A\left|\phi_i\right\rangle & =a_i\left|\phi_i\right\rangle, \\B\left|\phi_i\right\rangle & =b_i\left|\phi_i\right\rangle, \\C\left|\phi_i\right\rangle & =c_i\left|\phi_i\right\rangle, \\D\left|\phi_i\right\rangle & =d_i\left|\phi_i\right\rangle,\end{aligned}$$

那么态$\left|\phi_i\right\rangle$就是这组可观测量的共同本征态，如果在这个观察下$\left|\phi_i\right\rangle=\left|a_i, b_i, c_i, d_i\right\rangle$，则称$\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} , \widehat{D}$组成了共同可对易的可观测量的完全集合

势阱的例子

一维势阱

能量的本征值为：

$$\varepsilon_i=\frac{n_i^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}$$

对应的能量本征态：$\left|\varphi_i\right\rangle=\left|\varepsilon_i\right\rangle=\left|n_i\right\rangle$，$\left|n_i\right\rangle$表示例子在第$n_i$个能级上的波函数。在这种情况下，这些所有的本征态都可以用一个整数$n_i$来表示。这个整数构成了ECOC。

二维势阱

能量的本征值为：

$$\varepsilon_i=\frac{\left(n_x^2+n_y^2\right) \pi^2 \hbar^2}{2 m a^2}$$

其中$n_x$和$n_y$分别是沿着两个坐标轴的量子数。

这是，能量本征态可以表示为$\left|\varphi_i\right\rangle=\left|n_x, n_y\right\rangle=\left|\varepsilon_i, n_y\right\rangle$。无论使用哪种表示，这些态都构成了ECOC。

期望和方差 Valeur moyenne et incertitude

期望 Valeur moyenne

我们使用期望来计算本征态的平均值：$\langle A\rangle_\psi=\sum_n p_n a_n$

将概率分解为态向本征态的投影的平方：$p_n=\left|\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle\right|^2 = \left\langle\psi \mid \varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle$

引入算符表示：$\langle A\rangle\psi=\sum_n\left\langle\psi\left|a_n\right| \varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle =\langle A\rangle\psi=\sum_n\left\langle\psi|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle$

合并求和：$\langle A\rangle_\psi=\left\langle\psi\left|\widehat{A}\left(\sum_n\left|\varphi_n\right\rangle\left\langle\varphi_n\right|\right)\right| \psi\right\rangle$

得到期望：

$$\begin{align}\langle A\rangle_\psi=\langle\psi|\widehat{A}| \psi\rangle\end{align}$$

平均标准差 Écart quadratique moyen (incertitude)

平均标准差被定义为：

$$\Delta_\psi(A)=\sqrt{\left\langle\left(\widehat{A}-\langle A\rangle_\psi\right)^2\right\rangle_\psi}$$

可进一步化简为：

$$\begin{align}\Delta_\psi(A)=\sqrt{\left\langle A^2\right\rangle_\psi-\langle A\rangle_\psi^2}\end{align}$$

与期望和方差相关的一个例子

🐈‍⬛ 期望和方差-探究$\sigma_x$与$\sigma_p$的关系-定域性的例子

• 期望和方差-探究$sigma_x$与$sigma_p$的关系-定域性-高斯波包的例子

广义海森堡不确定性关系 Relation d’incertitude de Heisenberg généralisée

假设$[\widehat{A}, \widehat{B}]=i \hbar \widehat{C}$，构建：

$$\left(\widehat{A}-\langle A\rangle_\psi\right)+i \lambda\left(\widehat{B}-\langle B\rangle_\psi\right), \lambda \in \mathbb{R}$$

应有：

$$\|\left[\left(\widehat{A}-\langle A\rangle_\psi\right)+i \lambda\left(\widehat{B}-\langle B\rangle_\psi\right)\right]|\psi\rangle \|^2 \geqslant 0$$

从而使得有效值：

$$\left\langle\psi\left|\left(\widehat{A}-\langle A\rangle_\psi\right)^2+\lambda^2\left(\widehat{B}-\langle B\rangle_\psi\right)^2+i \lambda[\widehat{A}, \widehat{B}]\right| \psi\right\rangle \geqslant 0$$

带入C：

$$\left\langle\left(\widehat{A}-\langle A\rangle_\psi\right)^2\right\rangle_\psi+\lambda^2\left\langle\left(\widehat{B}-\langle B\rangle_\psi\right)^2\right\rangle_\psi-\lambda \hbar\langle C\rangle_\psi \geqslant 0$$

从而最终得到：

$$\hbar^2\langle C\rangle_\psi^2-4\left\langle\left(\widehat{A}-\langle A\rangle_\psi\right)^2\right\rangle_\psi\left\langle\left(\widehat{B}-\langle B\rangle_\psi\right)^2\right\rangle_\psi \leqslant 0$$

或者写作：

$$\begin{align}\Delta_\psi(A) \Delta_\psi(B) \geqslant \frac{\hbar}{2}\langle C\rangle_\psi \ ,\ [\widehat{A}, \widehat{B}]=i \hbar \widehat{C}\end{align}$$

连续基和波函数

连续波函数的表示

$$|\psi\rangle=\sum_n\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle\left|\varphi_n\right\rangle \Rightarrow|\psi\rangle=\int\langle x \mid \psi\rangle|x\rangle \mathrm{d} x$$

连续概率的表示

$$p_n=\left|\left\langle\varphi_n \mid \psi\right\rangle\right|^2 \Rightarrow p(x)=|\langle x \mid \psi\rangle|^2=|\psi(x)|^2$$

闭合原理

即总概率为1

$$\int|x\rangle\langle x| \mathrm{d} x=\widehat{\mathbb{1}}$$

位置表示和动量表示

• $\langle x \mid \psi\rangle=\psi(x)$
• $\left\langle p_x \mid \psi\right\rangle=\bar{\psi}\left(p_x\right)$

位置和动量之间的转换

$$\psi(\vec{r})=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3 / 2}} \int e^{i \vec{p} \cdot \vec{r} / \hbar} \bar{\psi}(\vec{p}) d^3 p$$

位置和动量的不确定度

$$\begin{aligned}{\left[\widehat{x}, \widehat{p}_x\right] \psi(x) } & =\left(\widehat{x} \widehat{p}_x-\widehat{p}_x \widehat{x}\right) \psi(x)=x \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi(x)-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}(x \psi(x)) \\& =i \hbar \psi(x)\end{aligned}$$ $$\left[\widehat{x}, \widehat{p}_x\right]=i \hbar \widehat{\mathbb{1}} \Rightarrow \Delta_\psi x \Delta_\psi p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$$

高斯波包的一个例子

🐈‍⬛ 一个结合薛定谔方程和本章内容的例子高斯波包的例子