量子力学公设 Les postulats de la mécanique quantique

量子力学公设 Les postulats de la mécanique quantique

Postulat 1: 体系的态的描述 représentation d’un état physique

量子系统在确定时刻 t ，一个物理体系的状态由态空间中的一个特定的右矢 \(|ψ(t)\rangle\) 描述。

• 两个状态向量的相乘写作\(\langle\psi_1(t)||\psi_2(t)\rangle\)，前者是列向量，后者是行向量。
• 态矢量的线性叠加还是态矢量
• 态矢量的模被定义为：\(\|\left|\psi_1\right\rangle \|^2=\left\langle\psi_1 \mid \psi_1\right\rangle=1\)

Postulat 2: 物理量的描述 grandeurs physiques et opérateurs

对于量子物理学来说，任何可以测量的物理量都可以通过态空间中起作用的厄米线性算子相关的“可观察量”来描述。

• 算子 opérateurs：\(\widehat A|\psi_1\rangle = |\psi_2\rangle\)

算子的性质: 线性，伴随，厄米

• 线性 linear ：\(\widehat A(\sum\alpha_n|\psi_n\rangle) = \sum\alpha_n\widehat A|\psi_n\rangle\)

• 伴随 adjoint: \(\langle\psi_2| = |\psi_2\rangle^\dag\) ，表示共轭转置。对于算子:

  \[ \left|\psi_2(t)\right\rangle=\widehat{A}\left|\psi_1(t)\right\rangle\Rightarrow\left\langle\psi_2(t)|=| \psi_2(t)\right\rangle^{\dagger}=\left(\widehat{A}\left|\psi_1(t)\right\rangle\right)^{\dagger}=\left\langle\psi_1(t)\right| \widehat{A}^{\dagger} \]

• 厄米 Hermitian: \(\widehat A^{\dag} = \widehat A\)

  • 特征向量和特征值: \(\widehat A|\psi_1\rangle = a_n|\psi_1\rangle\)
  • 如果厄米, \(\{a_n\}\) 全部为实数
    • \(\left\langle\varphi_n|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle=a_n\left\langle\varphi_n \mid \varphi_n\right\rangle\)
    • \(a_n^\dagger\left\langle\varphi_n \mid \varphi_n\right\rangle = \left(\left\langle\varphi_n|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle\right)^{\dagger}=\left\langle\varphi_n\left|\widehat{A}^{\dagger}\right| \varphi_n\right\rangle=\left\langle\varphi_n|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle = a_n\left\langle\varphi_n \mid \varphi_n\right\rangle\)
  • 如果厄米，特征向量\(\left\{\varphi_n\right\}\)构成正交基
    • \(\left\langle\varphi_m|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle=a_n\left\langle\varphi_m \mid \varphi_n\right\rangle\)
    • \(\left\langle\varphi_m|\widehat{A}| \varphi_n\right\rangle=\left\langle\varphi_m\left|\widehat{A}^{\dagger}\right| \varphi_n\right\rangle=\left(\left\langle\varphi_m\right| \widehat{A}^{\dagger}\right)\left|\varphi_n\right\rangle=a_m\left\langle\varphi_m \mid \varphi_n\right\rangle\)
    • \(\left(a_n-a_m\right)\left\langle\varphi_m \mid \varphi_n\right\rangle=0 \Rightarrow\left\langle\varphi_m \mid \varphi_n\right\rangle=\delta_{m n}\)

谱分解原理 principe de la décomposition spectrale

\[ |\psi_1\rangle = \sum c_n(t)|\varphi_n\rangle\quad avec \quad c_n(t) = \langle\varphi_n|\psi_1\rangle \]

证明，计算原向量向\(\varphi_m\)方向的投影：

\[ \lang\varphi_m||\psi_1\rang = \sum c_n\lang\varphi_m|\varphi_n\rang = \sum c_n \delta_{n,m} = c_m \]

Postulat 3: 物理量的测量 mesure d’une grandeur physique

测量一个物理量的结果只能是关联算子的特征值之一。

引→无穷势阱中的能量

从薛定谔方程，我们可以得到无穷势阱中：

\[ -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{1}{\phi(x)} \frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2}=E \]

从而得到：

\[ \frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2}+k^2 \phi=0 \quad \text { avec } \quad k=\sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}} \]

解方程得到空间相关项的形式：

\[ \phi(x)=B e^{i k x}+C e^{-i k x} \]

带入初始条件：\(x(0) = 0, x(a) = 0\)，得：

\[ \phi(x) = 2iBsin(\frac {n\pi}ax), n \in \mathbb{N}^* \]

由此，得以计算\(k = \frac{n\pi}{a}\)，带回公式\(k=\sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}}\)得到能量：

\[ E=\frac{p^2}{2 m}=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m}=\frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2 m a^2}, \quad n \in \mathbb{N}^* \]

Postulat 4: 测量结果的概率 probabilité du résultat d’une mesure

非简并的离散谱情况

若体系处于已归一化的态中，则测量物理量得到的结果为对应观察算符得非简并non dégénérée特征值\(a_n\)得概率为：

\[ p_n=\left|\left\langle\varphi_n \mid \psi(t)\right\rangle\right|^2=\left\langle\varphi_n \mid \psi(t)\right\rangle\left\langle\psi(t) \mid \varphi_n\right\rangle \]

式中\(\left|u_n\right\rangle\)是\(A\)的已归一化的本征矢, 属于本征值 \(a_n\)。

简并的离散谱情况

若体系处于已归一化的态中，则测量物理量得到的结果为对应观察算符非简并dégénérée特征值\(a_n\)得概率为：

\[ p_n=\sum_g\left|\left\langle\varphi_{n, g} \mid \psi(t)\right\rangle\right|^2=\sum_g\left\langle\varphi_{n, g} \mid \psi(t)\right\rangle\left\langle\psi(t) \mid \varphi_{n, g}\right\rangle \]

式中 \(g\) 是 \(a_n\) 的简并度, 而 \(\left\{\left|\phi_{n,g}\right\rangle\right\}\left(i=1,2, \cdots, g_n\right)\) 是一组正交归一矢量, 它们在对应于 \(A\) 的本征值 \(a_n\) 的本征子空间 \(\mathscr{E}_n\) 构成一个基.

连续谱的情况

第四个假定(非简并连续谱的情况): 测量处于已归一化的念 \(|\psi\rangle\) 的体系的物理量 \(\mathscr{A}\) 时, 得到介于 \(\alpha\) 和 \(\alpha+\mathrm{d} \alpha\) 之间的结果的概率 \(\mathrm{d} \mathscr{P}(\alpha)\) 是:

$$

()=|v_|^2

$$

其中 \(\left|v_\alpha\right\rangle\) 是与 \(\mathscr{A}\) 相联系的观察算符 \(A\) 的本征矢, 属于本征值 \(\alpha\).

Postulat 5: 波包收缩 réduction du paquet d’ondes

第五个假定: 如果对处于 \(|\psi\rangle\) 态的体系测量物理量 \(\mathscr{A}\) 得到的结果是 \(a_n\), 则刚测量之后体系的态是 \(|\psi\rangle\) 在属于 \(a_n\) 的本征子空间上的归一化的投影 \(\frac{P_n|\psi\rangle}{\sqrt{\left\langle\psi\left|P_n\right| \psi\right\rangle}}\)。

非简并情况的例子

假设\(|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(t)\left|\varphi_n\right\rangle\)测量结果为\(a_n\)，有\(|c_n(t)|^2 = 1\)，\(\left|\psi^{\prime}(t)\right\rangle=\left|\varphi_m\right\rangle\)

简并情况的例子

假设\(|\psi(t)\rangle=\sum_n \sum_{g=1}^{g_n} c_{n, g}(t)\left|\varphi_{n, g}\right\rangle\)测量结果为\(a_n\)，有：

\[ \left|\psi(t)\right\rangle=\frac{1 }{\sqrt{\sum_{g=1}^{g_m}\left|c_{m, g}(t)\right|^2}} \sum_{g=1}^{g_m} c_{m, g}(t)\left|\varphi_{m, g}\right\rangle \]

Postulat 6: 体系随时间的演变

体系随时间演变的薛定谔方程为：

\[ i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\psi(t)\rangle=\widehat{H}(t)|\psi(t)\rangle \]