CRS III 结构的离散分析 Discrétisation des structures
结构的离散分析:目的与原理 Analyse discrète des structures : objectif et principe
目的
- 寻找近似解
- 分析离散模型
- 推广到无穷元素
原理
实际上,即使我们拥有运动的确切方程,找到解析解也并非总是可能的,因此需要使用近似方法来找到解。我们将在本章介绍的Rayleigh-Ritz方法就是其中之一。
离散近似解
我们寻找一种如下所示的离散近似解:
其中,$\left{\lambdai\right}{i=1, N}$表示解的加权系数,$\left{\psii\right}{i=1, N}$表示解的运动学允许空间表示函数。
如此,问题的弱表述或强表述的方程和表达可以用λ来表示。然而,为了找到解,弱形式的表达更适用,它基于泛函的最小化。
实践 Mise en oeuvre
拉伸-压缩梁的形变能量的情况
我们已经讨论过,拉伸-压缩梁的形变能量:
将离散近似解替换进去:
只有$ψ$的导数被积分,我们用对称双线性函数表示之:
最终势能表现为关于$\lambda$的二次型。$a(u,v)$ 可以直接从强表述方程$Au = -\rho \ddot u$的第一项得到,但是以变分形式出现,我们将其泛化为:
从而得到:
拉伸-压缩梁的动能的情况
然后考虑动能:
替换离散解:
进一步提取双线性函数得到:
$(\rho u,v)$ 可以直接从强表述方程$Au = -\rho \ddot u$的第二项得到,但是以变分形式出现。我们将其泛化为:
如此动能被表示为:
拉伸-压缩梁的有势力做功的情况
考虑有势力做功做功:
在垂直放置的受重力的直梁的情况下,有:
设$\mathrm{f}{\mathrm{i}}=\int_0^L \mathrm{Sf} \psi{\mathrm{i}} \mathrm{dx}$,可将外力简化为线性项:
拉伸-压缩梁的非有势力做功的情况
考虑非有势力做功,考虑作用在$x = L$点的拉力,有:
设$F_i=F \psi_i(L)$,可将非有势力做功简化为:
考虑非有势力做功,考虑作用在$x = L$点的力矩:
设$Mi=\left.M \frac{\partial \psi_i}{\partial x}\right|{x=L}$,可将其简化为线性项:
不论是应用于接触力$F$、局部力矩$M$还是接触力的部分$p$。我们都可以从外力的工的表达式出发:
从而将其简化为:
应用Hamilton原理
L组成部分的变分
- 动能:
势能
外力做功
代入方程
对第一项分布积分得:
根据$\left.\delta \lambda{\mathrm{i}}\right|{\mathrm{t}1}=0 \ \&\left.\delta \lambda{\mathrm{i}}\right|_{\mathrm{t}_2}=0$,第一项为0,故得:
计算离散模型 Calcul modal sous forme discrète
离散模态
假设$[\lambdai]$是$[\mathrm{M}{\mathrm{ij}}][\ddot{\lambda}{\mathrm{i}}]+\left[\mathrm{K}{\mathrm{ij}}\right][\lambda{\mathrm{i}}]=[\mathrm{f}{\mathrm{i}}]+[\mathrm{F}_{\mathrm{i}}]$的解,则引入模态之后,有离散模态$[X_i]_n$是:
的解。这些特征向量构成了我们在上一章中突出的特征模的近似形式。
正交化和归一化
为了找到上述方程的非零解,我们必须要求矩阵非满秩:
这个方程的解即为与特征向量相联系的特征频率。
这些解有着与前一张的连续模态相同的性质:
对应公式:
模态基
特征向量组成一组正交归一化的基,我们可以进行坐标转换:
代入之前的公式得:
简化公式:
由于$X$是特征向量,结合正交化信息,得:
最终得到二阶微分方程:
阻尼
根据Basile的假设,包含阻尼的微分方程可以写作:
其中,$R$是对角矩阵
在曲梁问题上应用Rayleigh- Ritz方法
运动方程和边界条件
由之前的例子,已知运动方程和边界条件:
对于$(2).4$,当$M\rightarrow \infty$时,$(2).4$转化为$u(L,t) = 0$。
模态分析
尽管不是本例子的重点,但我们还是简单的回顾模态分析方法。首先研究简谐驻波解:
代入$(1)$得:
这个方程的通解为:
应用边界条件$(2).1$和$(2).2$,有:
得:
将$(3)$代入$(2).3$和$(2).4$,有:
设$\mu=\frac{M}{\rho S l}$,$(4)$转化为:
可解得:
此时:
当$\mu\rightarrow\infty$时,由$(6)$有:
当$\mu\rightarrow0$时,由$(6)$有:
基于Rayleigh- Ritz方法分析:$\mu = 0$的情况
基于离散方法假设(对应两个模态):
目前系统没有受到外力,所以将其分别代入动能和势能的计算公式中。
离散情况下的动能/势能计算
动能
从而得到广义质量矩阵(名称存疑):
势能
从而得到:
应用哈莫顿原理得到方程
根据哈密顿原理:
假设$\mu = 0$,$W_{ext} = 0$,展开$(7)$:
对第一项应用分部积分,消除变分项中的微分:
由条件$\left.\delta \lambda{\mathrm{i}}\right|{\mathrm{t}1}=0 \ \&\left.\delta \lambda{\mathrm{i}}\right|_{\mathrm{t}_2}=0$,第一项等于0,从而得:
引入简谐假设求解方程
基于简谐假设:
$(8)$式写作:
为了不得到零解,行列式$det([K]-\omega^2[M]) = 0$,这意味着$(9)$式只能提供一个方程,为了方便计算,我们取:
从而得到一组与$\omega_n$相关的向量$X_n$。
正交性
从$(9)$式还可以证明这些向量之间的正交性:
后续的步骤很简单,在此省略。
基于Rayleigh- Ritz方法分析:$\mu = \infty$的情况
在$\mu = \infty$的情况下,有初始条件:$u(L, t)=0$,可以代入$u$的离散表示:
如此即可将$u$写做:
选择其一即可。此时只能有一个模态,因此: