CRS I 结构动力学问题的表述：强表述和弱表述 Formulation du problème en dynamique des structures ： formulation forte / formulation faible

离散系统的差分方法 Approche différentielle sur les systèmes discrets

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振动系统是离散组件的集合，唯一的特征是具有惯性的刚体，可变性元件（弹簧）和耗散元件连接在一起。未知数和自由度的数量与实体和连接方程的数量相关。

表述的描述 Description des formulations

强表述：离散系统

$$M\ddot{u}=-ku+FM\ddot{u}=-ku-c\dot{u}$$

弱表述：变分方法

从能量和功的概念出发，写出方程，根据变分原理写出平衡方程。

虚位移原理 Principe des travaux virtuels

变分算符 opérateur de variation与虚位移 déplacement virtuel

$$\delta {\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}={\tilde{\mathrm{u}}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t})-{\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t})$$

$\delta$ 被称为变分算符 opérateur de variation，$\delta u_i$被称为相对真实位移的变分 variation par rapport au déplacement réel。

需保证：$\delta u_i\left(t_1\right)=0\text{ et }\delta u_i\left(t_2\right)=0$

变分算符与微分是可交换的：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\delta {\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}\right)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left({\tilde{\mathrm{u}}}_{\mathrm{i}}\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}\right)=\delta \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}\right)\right)\\ & ={\dot{\tilde{\mathrm{u}}}}_{\mathrm{i}}-{\dot{\mathrm{u}}}_{\mathrm{i}}=\delta {\dot{\mathrm{u}}}_{\mathrm{i}}\end{array}$$

虚力和虚功

一般来说，我们将力和功分别定义为：

$$\begin{array}{rlr}& F(u(x),u^{\prime }(x),\dots ,x)，& J={\int }_{x_1}^{x_2}F(u(x),u^{\prime }(x),\dots ,x)\cdot dx\end{array}$$

引入虚位移之后，虚力可以表示为：

$$\delta F=\frac{\partial F}{\partial u}\delta u+\frac{\partial F}{\partial u^{\prime }}\delta u^{\prime }+\dots$$

而虚功可以表示为：

$$\delta J={\int }_{x_1}^{x_2}\delta F.dx$$

虚位移原理 Principe des travaux virtuels

根据强表述：$m{\ddot{u}}_i=X_i\mathrm{\forall }\mathrm{i}\in \{1,2,3\}$，有虚位移方程：

$$\sum _{i=1}^3(m{\ddot{u}}_i-X_i)\cdot \delta u_i=0$$

即在虚拟位移 $u_i$ 实际作用在质点上的力所做的虚拟功为零。

$$\{\left[\begin{array}{l}m{\ddot{u}}_1\\ m{\ddot{u}}_2\\ m{\ddot{u}}_3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}{\mathrm{X}}_1\\ {\mathrm{X}}_2\\ {\mathrm{X}}_3\end{array}\right]\}\cdot \left\{\begin{array}{l}\delta {\mathrm{u}}_1\\ \delta {\mathrm{u}}_2\\ \delta {\mathrm{u}}_3\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\end{array}\right\}$$

如果虚拟功方程对于与运动学条件兼容的任何位移得到验证，则满足系统的平衡。

哈密顿原理

哈密顿原理是虚位移原理的对时间积分形式：

$${\int }_{{\mathrm{t}}_1}^{{\mathrm{t}}_2}[\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{N}}\sum _{\mathrm{i}=1}^3(m{\ddot{u}}_i-X_i)\cdot \delta u_{ik}]\cdot \mathrm{dt}=0$$

其中$k$表示物质上的$k$点，i表示方向。

$u_{ik}$是允许的虚位移 déplacement compatible ，即约束允许的位移

动能 Energie cinétique

可以观察到：

$$\frac{d}{dt}(m_k{\dot{u}}_{ik}\cdot \delta u_{ik})=m_k{\ddot{u}}_{ik}\delta u_{ik}+m_k{\dot{u}}_{ik}\delta {\dot{u}}_{ik}=m_k{\ddot{u}}_{ik}\delta u_{ik}+\delta \left(\frac{1}{2}{m}_k{\dot{u}}_{ik}{\dot{u}}_{ik}\right)$$

而后一项是动能的一部分，因此我们可以得到原式中的第一项：

$${\int }_{t_1}^{t_2}[\sum _{k=1}^N\sum _{i=1}^3(-m_k{\ddot{u}}_{ik})\cdot \delta u_{ik}]\cdot dt={[-\sum _{k=1}^N\sum _{i=1}^3{m}_k{\dot{u}}_{ik}\cdot \delta u_{ik}]}_{t_1}^{t_2}+\delta {\int }_{t_1}^{t_2}{E}_c\cdot dt$$

功 Travail des actions mécaniques

对于原式的第二项，可以分成两项：外力做功$\delta W_{\text{extérieur }}$和有势力做功，即势能变化$-\delta \mathrm{V}$。

广义坐标

由于约束的存在，实际上的自由度并非原始的坐标数。因此引入自由度数量的广义坐标 coordonnée généralisée。

如上图，只有一个自由度的系统，可以选择与x轴夹角$\theta (t)$作为广义坐标。

通过广义坐标，原始的第二项可以写作：

$$\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{N}}\sum _{\mathrm{i}=1}^3{\mathrm{X}}_{\mathrm{ik}}\cdot \delta {\mathrm{u}}_{\mathrm{ik}}=\sum _{\mathrm{S}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{Q}}_{\mathrm{S}}\cdot \delta {\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}$$

其中$Q_s$为广义力。同时，原始坐标的对时间微分可以写作：

$${\mathrm{u}}_{\mathrm{ik}}(\mathrm{x},\mathrm{t})={\mathrm{U}}_{\mathrm{ik}}({\mathrm{q}}_{\mathrm{s}},\mathrm{t})\Rightarrow {\dot{\mathrm{u}}}_{\mathrm{ik}}=\frac{\partial {\mathrm{U}}_{\mathrm{ik}}}{\partial \mathrm{t}}+\sum _{\mathrm{S}=1}^{\mathrm{n}}\frac{\partial {\mathrm{U}}_{\mathrm{ik}}}{\partial {\mathrm{q}}_{\mathrm{s}}}\cdot {\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{s}}$$

如果广义力是有势力，则可以写作：

$$\sum _{S=1}^n{Q}_S\cdot \delta q_S=-\delta V\iff Q_S=-\frac{\partial V}{\partial q_S}$$

哈密顿原理 Enoncé du principe de Hamilton

根据以上描述，原始公式可以写作：

$${\int }_{t_1}^{t_2}[\sum _{k=1}^N\sum _{i=1}^3(-m_k{\ddot{u}}_{ik}+X_{ik})\cdot \delta u_{ik}]\cdot dt={[-\sum _{k=1}^N\sum _{i=1}^3{m}_k{\dot{u}}_{ik}\cdot \delta u_{ik}]}_{t_1}^{t_2}+\delta {\int }_{t_1}^{t_2}(E_C-V+W_{ext})\cdot dt$$

然后根据条件：$\begin{array}{rl}& \delta u_{ik}\left(t_1\right)=0\\ & \delta u_{ik}\left(t_2\right)=0\end{array}$，第一项为0。

由此我们得到了哈密顿原理的最终表述：

$$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}(E_C-V+W_{\text{ext }})\cdot dt=0\text{ avec }\delta q_s\left(t_1\right)=0\text{ et }\delta q_s\left(t_2\right)=0$$

基于哈密顿原理的运动方程 Equations du mouvement à partir du principe de Hamilton

展开虚动能：

$$\delta {\mathrm{E}}_{\mathrm{C}}=\sum _{\mathrm{S}=1}^{\mathrm{n}}(\frac{\partial {\mathrm{E}}_{\mathrm{C}}}{\partial {\mathrm{q}}_{\mathrm{s}}}\delta {\mathrm{q}}_{\mathrm{s}}+\frac{\partial {\mathrm{E}}_{\mathrm{C}}}{\partial {\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{s}}}\delta {\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{s}})$$

展开外力做功：

$$\delta W_{\text{ext }}=F_S\cdot \delta q_s\text{ d'après }{W}_{\text{ext }}=F_S\cdot q_s$$

代入哈密顿原理得到：

$${\int }_{t_1}^{t_2}[\sum _{S=1}^n(\frac{\partial E_C}{\partial q_S}+Q_S+F_S)\delta q_S+\frac{\partial E_C}{\partial {\dot{q}}_S}\delta {\dot{q}}_S]dt=0$$

基于分布积分法，第二项为：

$$\frac{\partial E_C}{\partial {\dot{q}}_S}\delta {\dot{q}}_S={\left[\frac{\partial E_c}{\partial {\dot{q}}_s}\delta q_S\right]}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_C}{\partial {\dot{q}}_s}\right)\delta q_s\cdot dt$$

根据哈密顿原理，第一项为0，得到：

$${\int }_{t_1}^{t_2}\left[\sum _{S=1}^n(-\frac{d}{dt}\frac{\partial E_C}{\partial {\dot{q}}_S}+\frac{\partial E_C}{\partial q_S}+Q_S+F_S)\delta q_S\right]dt=0$$

拉格朗日运动方程 Les équations du mouvement Lagrange

考虑每一个广义坐标：

$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\frac{\partial {\mathrm{E}}_{\mathrm{C}}}{\partial {\dot{\mathrm{q}}}_{\mathrm{S}}}+\frac{\partial {\mathrm{E}}_{\mathrm{C}}}{\partial {\mathrm{q}}_{\mathrm{S}}}+{\mathrm{Q}}_{\mathrm{S}}+{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}}=0$$

连续系统的情况

使用位移向量来表示物质的运动：

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{x}=\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right\}\\ & \overrightarrow{u}=\left\{\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{u}_1(x_1,x_2,x_3,t)\\ u_2(x_1,x_2,x_3,t)\\ u_3(x_1,x_2,x_3,t)\end{array}\right\}\end{array}$$

广义的哈莫顿原理

我们将哈莫顿原理中的：$E_C-V+W_{\text{ext }}$记为$L(u)$

动能

在连续系统中，动能可以分别被表示为：

$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{E}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_0}{\rho }_0\sum _{\mathrm{i}=1}^3{\dot{\mathrm{u}}}_{\mathrm{i}}{\dot{\mathrm{u}}}_{\mathrm{i}}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }\end{array}$$

外势能

对于势能，有由体积力导致的外势能：

$$V_{\text{ext }}=-{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_0}\sum _{\mathrm{i}=1}^3{\mathrm{f}}_{\mathrm{i}}\cdot {\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$$

形变势能 énergie de déformation

有由内部形变导致的变形势能：

$${\mathrm{V}}_{\mathrm{int}}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_0}\mathrm{w}\left({\epsilon }_{\mathrm{ij}}\right)\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$$

其中$\mathrm{w}\left({\epsilon }_{\mathrm{ij}}\right)$是形变能密度，为：

$$w\left({\epsilon }_{ij}\right)=\sum _{i,j}{\int }_0^{{\epsilon }_{ij}}{\sigma }_{ij}d{\epsilon }_{ij}\Rightarrow \delta w=\sum _{i,j}\frac{\partial w}{\partial {\epsilon }_{ij}}\delta {\epsilon }_{ij}$$

外力做功

外力做功可以表示为：

$${\mathrm{W}}_{\mathrm{ext}}={\int }_{\partial {\mathrm{\Omega }}_0}\sum ^3{\mathrm{F}}_{\mathrm{i}}\cdot {\mathrm{u}}_{\mathrm{i}}\mathrm{d}\partial \mathrm{\Omega }$$

广义的哈莫顿原理

最终代入这些元素后，得到广义的哈莫顿原理，即为弱表述：

$$\begin{array}{rl}\delta {\int }_{t_1}^{t_2}& (E_C-V+W_{ext})\cdot dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{\partial {\mathrm{\Omega }}_0}\sum _{i,j}(F_j-n_i{\sigma }_{ij})\delta u_{j}d\partial \mathrm{\Omega }dt+{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_0}\sum _{j=1}^3(\sum _{i=1}^3\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial x_i}-{\rho }_0{\ddot{u}}_j+f_j)\delta u_{j}d\mathrm{\Omega }dt\end{array}$$

• 第一个积分项是对物体表面 $\partial {\Omega }_0$ 上的力的贡献进行积分。它表示了表面力对位移的影响，即力对位移的功。
• 第二个积分项是对物体内部 $\partial {\Omega }_0$区域内的力的贡献进行积分。它表示了内部应力和体积力对位移的影响，即内部力对位移的功。

拉伸，弯曲的动力学方程和边界条件求法

拉伸压缩杆的例子

我们应用广义的哈莫顿原理解决这个问题：

$$\delta {\int }_{t_1}^{t_2}(E_C-V+W_{ext})\cdot dt=0$$

首先，我们要计算动能，势能和外力做功。

动能

在这个连续系统中，动能被定义为：

$$E_C=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho {\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)}^{2}d\mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}{\int }_0^L\rho S{\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)}^{2}dx$$

形式上与质点的动能一致。

势能

在这个系统中，势能由$x$方向的形变提供：

$$V=V_{int}=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\sigma :\epsilon d\mathrm{\Omega }$$

其中有：

$$\epsilon =\frac{\partial u(x,t)}{\partial tx},\sigma =E\epsilon$$

得到：

$$V=V_{int}=\frac{1}{2}{\int }_0^{L}ES{\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)}^{2}dx$$

外力做功

$x=0$点的约束力不做功，$x=L$的力：

$$F_L=M\frac{d^{2}u(L,t)}{d{t}^2}$$

其做功：

$$W_{ext}=F_{L}u(L,t)=M\frac{d^{2}u(L,t)}{d{t}^2}u(L,t)$$

哈莫顿原理

根据哈莫顿原理，有：

$$\begin{array}{rl}& \delta {\int }_{t_1}^{t_2}(E_C-V+W_{ext})\cdot dt=0\\ \text{(1)}& & {\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho S\dot{u}\delta \dot{u}dtdx-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^{L}ES\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\delta \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)dxdt& +{\int }_{t_1}^{t_2}{F}_L\delta u(L,t)dt=0\end{array}$$

对$(1)$第一项应用分步积分，目的是消除变分符号中的对时间的偏微分：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho S\dot{u}\delta \dot{u}dtdx={\left[{\int }_0^L\rho S\dot{u}\delta udx\right]}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho S\ddot{u}\delta udtdx\end{array}$$

根据$\delta u(x,t_1)=0,\delta u(x,t_2)=0$，$(2)$的第一项为$0$。

对$(1)$的第二项应用分步积分，目的是消除变分符号中对空间的偏微分：

$$\begin{array}{rl}-{\int }_{t_1}^{t_2}& {\int }_0^{L}ES\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\delta \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)dxdt=\\ \text{(3)}& & -{\left[{\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\delta udt\right]}_0^L+{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^{L}ES\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}\delta udxdt\end{array}$$

进一步展开$(3)$的第一项：

$$-{\left[{\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\delta udt\right]}_0^L={\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}\delta u(0,t)dt-{\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}\delta u(L,t)dt$$

最终得到：

$$\begin{array}{rl}& -{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho S\ddot{u}\delta udtdx+{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^{L}ES\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}\delta udxdt+\\ & {\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}\delta u(0,t)dt-{\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}\delta u(L,t)dt+\\ \text{(4)}& & {\int }_{t_1}^{t_2}{F}_L\delta u(L,t)dt=0\end{array}$$

合并同类项：

$$\begin{array}{rl}& -{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L(\rho S\ddot{u}-ES\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2})\delta udxdt+{\int }_{t_1}^{t_2}ES\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}\delta u(0,t)dt-\\ \text{(5)}& & {\int }_{t_1}^{t_2}(ES\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}-F_L)\delta u(L,t)dt=0\end{array}$$

从而得到运动方程$(6)$和边界条件$(7)$：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& & \rho S\ddot{u}-ES\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}=0\text{(7)}& & \{\begin{array}{rl}& ES\frac{\partial u(0,t)}{\partial x}\delta u(0,t)=0\Rightarrow u(0,t)=0\\ & ES\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}-F_L=0\Rightarrow ES\frac{\partial u(L,t)}{\partial x}=F_L\end{array}\end{array}$$

曲梁的例子

[{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fcrs-1%2FUntitled_6.png","alt":""},{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fcrs-1%2FUntitled_7.png","alt":""},{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fcrs-1%2FUntitled_8.png","alt":""}]

动能，势能和所受外力做功

• 动能与压缩拉伸杆的处理方式相同：

  $$E_c=\frac{1}{2}{\int }_0^L\rho s{\dot{v}}^{2}dx$$

• 处理势能时需要注意，势能沿x方向累计，所以我们要求出x方向位移和$v$的关系。

  $$u=-\omega y=-\frac{\partial v}{\partial x}y$$

  然后以相同的方法求出应力和应变：

  $$\epsilon =\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}y,\sigma =E\epsilon =-E\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}y$$

  从而得到势能：

  $$V=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\sigma :\epsilon d\mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}{\int }_0^L{\int }_s{y}^{2}E{\left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\right)}^{2}dSdx$$

  由于位移沿垂直x方向并非均匀，我们设${\int }_s{y}^{2}ds=I$，从而得到势能的最终表述：

  $$V=\frac{1}{2}{\int }_0^{L}EI{\left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\right)}^{2}dx$$

• 外力做功可以直接使用弹性势能的变化量来表示：

  $$W_{ext}=-V_{spring}=-\frac{1}{2}kv(L,t{)}^2$$

  

  我们也同时处理一下这个情况：

  $$W_{ext}=-\frac{1}{2}\alpha {\left(\frac{\partial v(L,t)}{\partial x}\right)}^2$$

  最后我们与假设力为常数的情况比较：

  $$W_{ext}=F_{0}v(L,t)$$

哈密顿原理

应用哈莫顿原理，得到：

$${\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho \delta \dot{v}\delta \dot{v}dx-{\int }_0^{L}EI\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\delta \left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\right)dx+F_0\delta v(L,t)dt=0$$

首项的处理方式与前一道题一致：

$${\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho \delta \dot{v}\delta \dot{v}dx={\left[{\int }_0^L\rho \dot{v}\delta vdx\right]}_{t_1}^{t_2}-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^L\rho \ddot{v}\delta vdx$$

其中第一项为0。

第二项为了消除变分中的二阶导，我们要进行两次分部积分：

$$-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^{L}EI\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\delta \left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\right)dx=-{\left[{\int }_{t_1}^{t_2}EI\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}\delta \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)dt\right]}_0^L+{\left[{\int }_{t_1}^{t_2}EI\frac{{\partial }^{3}v}{\partial x^3}\delta vdt\right]}_0^L-{\int }_{t_1}^{t_2}{\int }_0^{L}EI\frac{{\partial }^{4}v}{\partial x^4}\delta vdxdt$$

第三项对应另外两种情况将分别为：

$${\int }_{t_1}^{t_2}kv(L,t)\delta v(L,t)$$

和

$${\int }_{t_1}^{t_2}\alpha \frac{\partial v(L,t)}{\partial x}\delta \left(\frac{\partial v(L,t)}{\partial x}\right)dt$$

最终合并同类项之后，得到与受力无关的运动方程：

$$EI\frac{{\partial }^{h}v}{\partial x^4}+\rho s\ddot{v}=0$$

和约束条件：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& & -EI\frac{{\partial }^{3}v(0,t)}{\partial x^3}\delta v(0,t)=0\Rightarrow v(0,t)=0\text{(9)}& & +EI\frac{{\partial }^{2}v(0,t)}{\partial x^2}\delta \left(\frac{\partial v(0,t)}{\partial x}\right)=0\Rightarrow \frac{\partial v(0,t)}{\partial x}=0\end{array}$$

这两个约束条件和受力无关，以及于受力相关的：

$$\begin{array}{rl}& (EI\frac{{\partial }^{3}v(L,t)}{\partial x^3}+F_0||-kv(L,t)||0)\delta v=0\\ \text{(10)}& & \Rightarrow EI\frac{{\partial }^{3}v}{\partial x^3}(L,t)=-F_0||kv(L,t)||0\end{array}$$

$A||B||C$分别代表受恒定外力、受弹簧提供的外力和受力矩作用的情况。最后是关于力矩的：

$$\begin{array}{rl}(-EI& \frac{{\partial }^{2}v(L,t)}{\partial x^2}-\alpha \frac{\partial v(L,t)}{\partial x})\delta \left(\frac{\partial v(L,t)}{\partial x}\right)=0\\ \text{(11)}& & \Rightarrow -EI\frac{{\partial }^{2}v(L,t)}{\partial x^2}=\alpha \frac{\partial v(L,t)}{\partial x}\end{array}$$

如果不受力矩，则直接有：

$$\frac{{\partial }^{2}v(L,t)}{\partial x^2}=0$$

对应两个受力的情况。