逻辑代数 Algèbre de Boole

逻辑代数的特点

布尔代数涉及逻辑变量及其函数（称为逻辑函数或布尔函数）的研究。

• 两个元素的集合：0，1
• 基本属性：幂等 idempotence

逻辑变量

回顾一下，逻辑变量是只能取0或1的变量

逻辑变量的相等 Égalité de deux variables logiques

如果$a= b$，则有$a = 0 \ and \ b = 0$或$a = 1 \ and \ b = 1$

逻辑变量互补 Variable complémentaire d’une variable logique

如果$a = \bar b \Leftrightarrow b = \bar a$，则有$a= 0,b = 1$或$a = 1,b = 0$

逻辑代数

$\mathbb{B}={0,1}$，$\left(\mathbb{B},+, \cdot,{ }^{-}, 0,1\right)$构成逻辑代数Algèbre de Boole

运算 operation

非 Opération NON

$$\begin{aligned}{ }^{-}: \mathbb{B} & \longrightarrow \mathbb{B} \\a & \longmapsto \bar{a}\end{aligned}$$

或 Opération OU

$$\begin{aligned}+: \mathbb{B} \times \mathbb{B} & \longrightarrow \mathbb{B} \\(a, b) & \longmapsto a+b\end{aligned}$$

• $a+b = 1 \Leftrightarrow a = 1 \ ou \ b = 1$
• $a+b = 0 \Leftrightarrow a = b = 0$

与 Opération ET

$$\begin{aligned}\cdot: \mathbb{B} \times \mathbb{B} & \longrightarrow \mathbb{B} \\(a, b) & \longmapsto a \cdot b\end{aligned}$$

• $a \cdot b=1 \text { si et seulement si } a=b=1$
• $a \cdot b=0 \text { sinon }$

性质 propriétés

与和或的交换律 commutative

$$\begin{gathered}\forall a, b \in \mathbb{B}, a+b=b+a \\\forall a, b \in \mathbb{B}, a \cdot b=b \cdot a\end{gathered}$$

与和或的结合律 associative

$$\begin{align*} \forall a, b, c \in \mathbb{B}, a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c \\ \forall a, b, c \in \mathbb{B}, a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c=a \cdot b \cdot c \end{align*}$$

与和或的运算元 élément neutre

$$\begin{aligned}& \forall a \in \mathbb{B}, a+0=a \\& \forall a \in \mathbb{B}, a \cdot 1=a\end{aligned}$$

与和或的互相分配律 distributives l’une par rapport à l’autre

$$\begin{aligned}& \forall a, b, c \in \mathbb{B}, a+(b \cdot c)=(a+b) \cdot(a+c) \\& \forall a, b, c \in \mathbb{B}, a \cdot(b+c)=(a \cdot b)+(a \cdot c)\end{aligned}$$

与和或的幂等 idempotentes

$$\begin{aligned}& \forall a \in \mathbb{B}, a+a=a \\& \forall a \in \mathbb{B}, a \cdot a=a\end{aligned}$$

排中律 les principes du tiers exclu

对于任何逻辑变量a，它要么等于1（真），要么等于0（假），没有第三种可能性。

$$\forall a \in \mathbb{B}, a+\bar{a}=1$$

矛盾律 le principe d’exclusion/la contradiction

一个逻辑命题不能同时为真和假。也就是说，对于任何逻辑变量a，它不能同时等于1（真）和0（假）。

$$\forall a \in \mathbb{B}, a \cdot \bar{a}=0$$

总结

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a & b & c & b \cdot c & a+(b \cdot c) & a+b & a+c & (a+b) \cdot(a+c) \\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 0 & \mathbf{0} \\\hline 0 & 0 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 1 & \mathbf{0} \\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & \mathbf{0} & 1 & 0 & \mathbf{0} \\\hline 0 & 1 & 1 & 1 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 0 & 1 & 0 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a & b & c & b \cdot c & a+(b \cdot c) & a+b & a+c & (a+b) \cdot(a+c) \\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 0 & \mathbf{0} \\\hline 0 & 0 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 1 & \mathbf{0} \\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & \mathbf{0} & 1 & 0 & \mathbf{0} \\\hline 0 & 1 & 1 & 1 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 0 & 1 & 0 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline 1 & 1 & 1 & 1 & \mathbf{1} & 1 & 1 & \mathbf{1} \\\hline\end{array}$$

布尔代数的性质 Propriétés de l’algèbre de Boole

等式

布尔代数满足以下等式:

$$\begin{gathered}\forall a \in \mathbb{B}, \overline{(\bar{a})}=a \\\forall a, b \in \mathbb{B}, a+(a \cdot b)=a \\\forall a, b \in \mathbb{B}, a+(\bar{a} \cdot b)=(\bar{b} \cdot a)+b=a+b\end{gathered}$$

• 证明

  $$a+(a \cdot b) =(a \cdot 1)+(a \cdot b) = a \cdot(1+b) = a \cdot 1 = a$$ $$a+(\bar{a} \cdot b) = a+(a \cdot b)+(\bar{a} \cdot b) {=} a+((a+\bar{a}) \cdot b) {=} a+(1 \cdot b) {=} a+b$$

德摩根定理 Théorèmes de De Morgan

$$\begin{aligned}& \forall a, b \in \mathbb{B}, \overline{a+b}=\bar{a} \cdot \bar{b} \\& \forall a, b \in \mathbb{B}, \overline{a \cdot b}=\bar{a}+\bar{b}\end{aligned}$$

• 证明

  $$\begin{aligned}&\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|c||c|c|c|}\hline a & b & \bar{a} & \bar{b} & a+b & \overline{a+b} & \bar{a} \cdot \bar{b} & a \cdot b & \overline{a \cdot b} & \bar{a}+\bar{b} \\\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \mathbf{1} & \mathbf{1} & 0 & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\\hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 0 & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \mathbf{0} & \mathbf{0} & 1 & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\\hline\end{array}\\&\text { TABLE } 1.8 \text { - Preuve des théorèmes de De Morgan }\end{aligned}$$