波函数 La fonction d’onde

本章有一个双重目标：虽然它建立在我们对麦克斯韦电磁理论的熟悉基础上，逐步解释粒子波应该是什么，但它也丰富了我们物理学家的工具箱

[{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fmq-3%2FUntitled.png","alt":""},{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fmq-3%2FUntitled_1.png","alt":""}]

电磁波 Waves as We Know Them: Let There Be Light

简略回顾麦克斯韦方程组、平面波、连续性方程、坡印廷矢量以及电磁波构成等等

麦克斯韦方程组

$\begin{gathered} & \operatorname{div} \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ & \operatorname{div} \vec{B}=0 \\ & \overrightarrow{\operatorname{rot}} \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ & \overrightarrow{\operatorname{rot}} \vec{B}=\mu_0 \vec{\jmath}+\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ & \end{gathered}$

矢量势和标量势

$\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, t)=\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)$
$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)=-\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)+\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot \Phi(\boldsymbol{r}, t)$

连续性方程（守恒方程）

$\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot \boldsymbol{j}_q(\boldsymbol{r}, t)+\frac{\partial \rho_q(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t}=0$

证明：

对麦克斯韦方程组中最后一个方程求散度：

$\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot\left(\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, t)\right)=\mu\left(\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot \boldsymbol{j}_q(\boldsymbol{r}, t)+\epsilon \vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t}\right)$

左侧旋度场散度为0，故证毕。

传播方程

$\nabla_{\boldsymbol{r}}^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)-\epsilon \mu \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\epsilon} \vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \rho_q(\boldsymbol{r}, t)+\mu \frac{\partial \boldsymbol{j}_q(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t}$

证明：

对麦克斯韦第二个方程取旋度，应用公式$\vec{\nabla}{\boldsymbol{r}} \times\left(\vec{\nabla}{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)\right)=\vec{\nabla}{\boldsymbol{r}}\left(\vec{\nabla}{\boldsymbol{r}} \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)\right)-\nabla_{\boldsymbol{r}}^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)$即可得到。

能量

能量守恒

使用$w=\delta W / \delta V$表示能量密度，则有：

$\frac{\partial w}{\partial t}=j_q \cdot \boldsymbol{E}=\frac{1}{\mu}\left(\vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{B}-\epsilon \mu \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right) \cdot \boldsymbol{E}$

代入向量恒等式$E \cdot\left(\vec{\nabla}_r \times B\right)=B \cdot\left(\vec{\nabla}_r \times E\right)-\vec{\nabla}_r \cdot(E \times B)$，得到：

$\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{1}{\mu}\left(B \cdot\left(\vec{\nabla}_r \times E\right)-\vec{\nabla}_r \cdot(E \times B)-\epsilon \mu E \frac{\partial E}{\partial t}\right)$

将麦克斯韦方程代入，并将$A \frac{\partial A}{\partial t}$替换为$\frac{\partial |A|^2}{\partial t}$，得到：

$\frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{1}{\mu} \vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B})-\frac{1}{2 \mu} \frac{\partial|B|^2}{\partial t}-\frac{\epsilon}{2} \frac{\partial|E|^2}{\partial t}$

即：

$\frac{1}{\mu} \vec{\nabla}_{\boldsymbol{r}} \cdot(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B})=-\frac{\partial}{\partial t}\left(w+\frac{1}{2 \mu}|B|^2+\frac{\epsilon}{2}|E|^2\right)$

由此，右侧的三项分别代表能量密度，电场和磁场的能量的变化率。左侧的项代表电磁场的能量通过空间的传输。

坡印廷矢量 Poynting vector和电磁场能量$u_{em}$

我们将能量守恒式左侧的$\frac{1}{\mu} E \times B$定义为坡印廷矢量$\text { П }$，并将由此代表电磁场能量的两项$\frac{1}{2 \mu}|B|^2+\frac{\epsilon}{2}|E|^2$定义为电磁场能量$u_{em}$，如此能量守恒可以表示为：

$\frac{\partial u_{e m}}{\partial t}+\operatorname{div} \vec{ П }\left(M_1,t\right)=-P_v\left(M_i,t\right)$

波

平面波

假设电磁波在一个没有电荷和电流的无限介质中传播，其传播方程可以简化为：

$\nabla_{\boldsymbol{r}}^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)-\epsilon \mu \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t^2}=0$

这个方程是向量的，我们考虑单一维度：

$\nabla_r^2 E_j(r, t)-\epsilon \mu \frac{\partial^2 E_j(r, t)}{\partial t^2}=0,\quad j=x, y, z$

将$\epsilon \mu$分解为真空贡献$\epsilon_0 \mu_0$和介质引入的额外介电常数和相对磁导率$\epsilon_r \mu_r$，并假设真空中光速$c=1 / \sqrt{\epsilon_0 \mu_0}$和折射率$n=\sqrt{\epsilon_r \mu_r}$，如此有：

$\epsilon \mu=n^2 / c^2$

然后，我们将解分解为两个函数的乘积：$f(r) g(t)$，得到：

$g(t) \nabla_r^2 f(r)-\frac{n^2}{c^2} f(r) \frac{d^2 g(t)}{d t^2}=0$

经过一系列求解过程（原书74-76页），最终得到三维平面波的解：

$\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)=\boldsymbol{E}_0 e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-i \omega_k t}$

将这个解代入麦克斯韦方程，可以得到：

$i k \times E(r, t)=i \omega_k B(r, t)$

可见，电场、磁场和波矢是互相正交。

物质波：波函数和结论 Matter Wave: Function and Consequences

描述粒子的波函数

对粒子波行为的观察

[{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fmq-3%2FUntitled_2.png","alt":""},{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fmq-3%2FUntitled_3.png","alt":""}]

这种现象并不只在光子身上被观察到，其他微粒之间的相互干涉也被很快观察到。

波恩解释的波函数

因此，我们有理由假设存在一个函数来描述任何物体的波动性质，这个函数的作用类似于光子的电场。我们将其称之为波函数fonction d’onde。我们假设，从源头出来每一条路线都有一个描述其行为的波函数，最终被检测到的粒子的波函数可能是由这些波函数的叠加构成的。

然而，实验只昭示了波函数的存在，以及其模的平方表示了存在的概率分布，我们并不知道指示函数应该是什么样子的。

$\begin{array}{|c|c|}\hline \text { t时刻波函数 wavefunction at } t & \psi(\boldsymbol{r}, t) \\\hline \text { t时刻位置概率分布 position probability distribution at } t & |\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 \\\hline 在d^3中的分布概率\text { position probability in } d^3 \boldsymbol{r} \text { at } t & |\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 d^3 r \\\hline\end{array}$

归一化条件

根据概率的性质或者粒子本身必须存在于某个地方的事实，我们可以提出一个归一化条件：

$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2 d^3 \boldsymbol{r}=1$

这意味着波函数本身必须是平方可积函数，以保证一个粒子不是无穷多个粒子。

平面波或者波包作为波函数 Wavefunctions as plane waves or wave packets

平面波作为波函数的情况

考虑光子与其他粒子的相似性，我们可以假设平面波可以用来描述其他动量确定的粒子。

对于一个自由粒子，其能量守恒，其动能可以写作：$\varepsilon=\hbar \omega=\frac{1}{2} m v^2=\frac{p^2}{2 m}$，总能量可以写作$\varepsilon=\hbar \omega=\frac{1}{2} m v^2=\frac{p^2}{2 m}$。如此，我们可以将波函数写作：

$\psi(\boldsymbol{r}, t)=A e^{i\left(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}-\varepsilon_p t\right) / \hbar}$

然而，这个函数并非平方可积的，因此无法归一化。

波包作为波函数的情况

由于粒子一般不是完全离域的，我们在某一位置周围找到这个粒子的概率会远大于其他地方。因此，我们尝试使用一种平面波的叠加：波包，来作为波函数，在$t = 0$时：

$\psi(\boldsymbol{r}, t=0)=\int c(\boldsymbol{k}) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}} d^3 \boldsymbol{k}$

其系数以函数 c(k) 的形式给出。这种叠加会产生构造性和破坏性的干涉，调制概率分布。

考虑一个一维的例子：高斯波包 $c(k)=C_0 e^{-\alpha^2 k^2}$：

$\begin{aligned} \psi(x, t=0) & =\int_{-\infty}^{+\infty} C_0 e^{-\alpha^2 k^2} e^{i k x} d k \\ & =C_0 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha^2 k^2+i 2 \alpha k \frac{x}{2 \alpha}} d k \\ & =C_0 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\left(\alpha k-i \frac{x}{2 \alpha}\right)^2-\left(\frac{x}{2 \alpha}\right)^2} d k \\ & =C_0 e^{-\left(\frac{x}{2 \alpha}\right)^2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \frac{1}{\alpha} d y \\ & =C_0 \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha} e^{-\left(\frac{x}{2 \alpha}\right)^2} \end{aligned}$

然后可以通过归一化条件来获得$C_0$。

$\int_{-\infty}^{+\infty}\left|C_0 \frac{\sqrt{\pi}}{\alpha} e^{-\left(\frac{x}{2 \alpha}\right)^2}\right|^2 d x=1$

得到$C_0=\sqrt{\frac{\alpha}{\left(2 \pi^3\right)^{1 / 2}}} e^{i \varphi}$。

海森堡不等式 Heisenberg inequality

波包表达式可以被认为波函数的傅里叶分解，从而使用平面波来表示复杂波函数。值得注意的是给定动量的重要性：$\boldsymbol{p}=\hbar \boldsymbol{k}$。

根据傅里叶变换的性质，为了描述具有特征大小Δx的空间变化的函数，有必要使用至少在$Δk≈1/Δx$上扩展的波矢量谱。这意味着$\Delta k \Delta x \gtrsim 1$，即海森堡不等式：

$\Delta p \Delta x \gtrsim \hbar$

它与我们的实验无法准确测量位置和动量无关。粒子本身不可能同时具有其位置和动量的固定值。

其中，最为极端的情况时平面波描述，其动量被准确知晓，但位置概率分布在无限宇宙中是均匀的。