Chapter 4 Energy Analysis of Closed Systems

在封闭系统的能量分析中，边界功是与物质的膨胀和压缩相关的功。不同的过程（如等压过程，多方过程，等温过程）有不同的计算公式。热力学第一定律（能量守恒定律）规定了能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转换为另一种形式。理想气体的内能变换和焓变具有一些特殊的性质，比如内能和焓的变化只取决于温度的变化。此外，理想气体中的恒压比热和恒体积比热是常数，而且这两者的差值等于理想气体常数。最后，对于不可压缩物质，其比热容常常是恒定的，且其焓变主要取决于物质的温度变化。

Boundary Work[边界功]

the work associated with expansion and compression of substances (物质)

边界功是系统与外界交换的功，与物质的膨胀和压缩有关。在一个封闭的系统中，物质的膨胀和压缩会改变系统的内能，这种变化表现为系统对外做的功或系统从外界吸收的功。边界功的计算公式一般形式为 \(W_{b}=\int_{1}^{2} P \cdot d U\)，其中\(P\)是压力，\(U\)是内能。这个公式描述了从状态1到状态2的过程中，系统对外做的功或系统从外界吸收的功。

General

1. \(W_{b}=\int_{1}^{2} P \cdot d U\)

Isobaric process

等压过程是系统的压力保持恒定的过程。在这个过程中，物质的体积会发生变化，从而做功或吸热。等压过程的边界功可以通过公式 \(W_{b}=P_{0} \cdot\left(V_{2}-V_{1}\right)\) 计算，其中\(P_{0}\)是恒定的压力，\(V_{2}\)和\(V_{1}\)是物质的最终体积和初始体积。

1. \(P_{1}=P_{2}=P_{0}\)
2. \(W_{b}=P_{0} \cdot\left(V_{2}-V_{1}\right)\)

Polytropic Process. (多方过程)

多方过程是一种过程，在此过程中，系统的压力和体积之间的关系为 \(PV^{n}=c\)，其中\(n\)和\(c\)是常数。在这个过程中，系统可以对外做功或从外界吸收功。多方过程的边界功可以通过公式 \(W_{b}= \int_{1}^{2} P \cdot d V=\int_{1}^{2} V^{-n} \cdot cdV=\frac{P_{2} V_{2}-P_{1} V_{1}}{1-n}\) 计算。此外，多方过程的结束状态的温度可以通过 \(T_{2}=T_{1} \cdot\left(P_{2} / P_{1}\right)^{(n-1) / n}\) 计算。

\[ \begin{aligned} & PV^{n}=c \\ & W_{b}= \int_{1}^{2} P \cdot d V=\int_{1}^{2} V^{-n} \cdot cdV=\frac{P_{2} V_{2}-P_{1} V_{1}}{1-n} \\ & T_{2}=T_{1} \cdot\left(P_{2} / P_{1}\right)^{(n-1) / n} \end{aligned} \]

Isothermal Process of an ideal gaz

理想气体的等温过程是一种特殊的过程，其中系统的温度保持不变。在这种过程中，系统的压力和体积可变，但温度始终保持恒定。等温过程中的边界功可以通过公式 \(W_{b}=m R T_{0} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}\)（其中\(PV=mRT = constant\)）计算，其中\(m\)是摩尔数量，\(R\)是理想气体常数，\(T_{0}\)是恒定的温度，\(V_{2}\)和\(V_{1}\)是物质的最终体积和初始体积。这个公式描述了从状态1到状态2的过程中，系统对外做的功或系统从外界吸收的功。

\(W_{b}=m R T_{0} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} \quad(P V=m R T=\text { constant })\)

Formule

first law

热力学第一定律，也称为能量守恒定律，它规定了能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转换为另一种形式。在封闭系统中，能量可以以工作、热量或物质的形式进出。当系统从状态一转变到状态二时，它与环境之间的能量交换等于状态一和状态二之间的内能差。这可以表示为：

• \(Q_{\text {in }}-W_{\text {out }}=\Delta E\)

其中 \(Q_{in}\) 是输入系统的热量，\(W_{out}\) 是系统对外做的功，\(\Delta E\) 是系统内能的变化量。这个公式揭示了能量守恒的原理，即一个系统的总能量等于其各种形式的能量之和。

constant -pressure process

在等压过程中，热力学第一定律（能量守恒定律）表达为： \(W_{b}+\Delta U=\Delta H\)。这里，\(W_{b}\) 代表系统对外做的边界功，\(\Delta U\) 是系统内能的变化，\(\Delta H\) 是系统的焓变。这表示在等压过程中，系统对外做的功和系统内能的变化之和等于系统的焓变。在等压过程中，系统的压力保持不变。

• \(W_{b}+\Delta U=\Delta H\)

Specific heat at constant-volumes

恒体积比热（Specific Heat at Constant Volume），记作\(c_v\)，是指在恒体积条件下，单位质量的物质温度升高1K所需要的热量。物质的恒体积比热反映了物质在等体过程中的吸热或放热情况。其计算公式为：\(c_{v}=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v}\)，其中\(u\)代表内能，\(T\)代表温度。这个公式说明，物质的内能和温度之间的变化率在恒体积条件下就是物质的恒体积比热。

\[ c_{v}=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v} \]

Specific hear at constant pressure

等压比热（Specific Heat at Constant Pressure），记作\(c_p\)，是指在等压条件下，单位质量的物质温度升高1K所需要的热量。物质的等压比热反映了物质在等压过程中的吸热或放热情况。其计算公式为：\(c_{p}=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{p}\)，其中\(h\)代表焓，\(T\)代表温度。这个公式说明，物质的焓和温度之间的变化率在等压条件下就是物质的等压比热。

$$

C_{p}=()_{p} $$

For ideal gases\(\Delta u \ et \ \Delta h\)

理想气体的内能变换和焓变具有一些特殊的性质。对于理想气体，内能的变化只取决于温度的变化，可以用以下公式表示：\(\Delta u=\int_{1}^{2} C_{v}(T) d T \approx C_{v \cdot avg }\left(T_{2}-T_{1}\right)\) 。其中，\(C_v\) 是恒体积比热，\(T_1\) 和 \(T_2\) 分别是初始和最终的温度。

焓变也只取决于气体的温度变化，可以用以下公式表示：\(\Delta h=\int_{1}^{2} C_{p}(T) d T \approx C_{p \cdot avg }\left(T_{2}-T_{1}\right)\)。其中，\(C_p\) 是恒压比热。

\(\begin{aligned} & \Delta u=\int_{1}^{0} C_{v}(T) d T \cong C_{v \cdot avg }\left(T_{2}-T_{1}\right) \\ & \Delta h=\int_{1}^{2} C_{p}(T) d T \cong C_{p \cdot avg }\left(T_{2}-T_{1}\right) \end{aligned}\)

for ideal gases \(C_p \ et \ C_v\)

\(C_p\) 和 \(C_v\) 是特定的恒压比热和恒体积比热，它们在理想气体中是常数。这两个比热的差值等于理想气体常数，即 \(C_p - C_v = R\)。

\[ \begin{aligned} & h=n+P_{v}=n+R T \Rightarrow \\ & C_{p}=C_{v}+R \end{aligned} \]

Specific heat ratio K (for ideal gases)

比热容比（Specific heat ratio K）是理想气体中的一个重要参数，它是指在恒压下的比热容\(C_p\)和在恒体积下的比热容\(C_v\)之比。这个比值在理想气体的状态方程中有重要应用。它的计算公式为\(K=\frac{C_p}{C_{V}}\)。具体数值会因不同的气体而有所差异，但对于理想气体，它通常在1.3到1.5之间。

\[ K=\frac{C_p}{C_{V}} \]

For incompressible substances

对于不可压缩物质，其特性在一定程度上与理想气体不同。首先，不可压缩物质的比热容常常是恒定的，即在给定的温度范围内，对于给定物质的单位质量，其温度每升高一个单位所需的热量是恒定的。这意味着恒压下的比热容\(c_p\)和恒体积下的比热容\(c_v\)是相等的，即\(c_p = c_v\)。

其次，对于不可压缩物质，其焓变\(\Delta h\)主要取决于物质的温度变化，而与压力变化无关。这是因为不可压缩物质的体积在整个过程中基本上保持不变，因此压力的变化对其焓变几乎没有影响。因此，不可压缩物质的焓变可以通过以下公式计算：\(\Delta h = c_p \cdot (T_2 - T_1)\)，其中\(T_1\)和\(T_2\)分别是初始和最终的温度。