RDM Chapitre 2 量化应力 Dimensionnement Contrainte
RDM Chapitre 2 量化应力 Dimensionnement Contrainte
圣韦南假设
- 奇异截面 Sections singulières 之外,应力 contraintes 只和内力相关
圣韦南问题
假设:
- 横截面恒定的直梁
- 同质弹性各向同性材料
- 载荷:$\Sigma_1$上的扭矩$[F]$,$\Sigma_1$上的$[F_0]$,$[F]+[F_0]=[0]$
- SL上没有载荷
目标:
- 定义一个静态可接受的$σ(P)$场,满足应力的兼容性方程(Beltrami)
应力
- 正应力:$\sigma{\mathrm{n}}=\sigma{11}$
- 切应力:$\vec{\tau}=\sigma{12} \vec{x}_2+\sigma{13} \vec{x}_3$
应力的方程
(1)局部平衡方程 Equation d’équilibre local (pas de force de volume)
(2)应力完备性条件 Equation de compatibilité en contrainte(Beltrami)
(3)边界条件 Conditions aux limites
应力与内力的联系
正应力
与外力的联系
转化到与内力的联系-在梁模型条件下
- 外力与内力的联系
- 得到应力与内力的联系:
正应力的分解
- 轴力
- 压缩或拉伸
- 弯矩
- 部分拉伸部分压缩
最大弯矩:
数量级关系
切应力 - 受扭矩的情况
切应力与扭矩的关系
- 其中$\Phi$是一个标量函数
切应力与内力的关系
切应力的合成
- 切应力的合成:$\tau = \sigma{12}\vec e_2+\sigma{13}\vec e_3$
以圆和圆环为例
对于圆的情况
$\Phi(r,\theta) = \frac 12(R^2-r^2)$
$I = 2\int_{\Sigma}\Phi \ rd\theta dr = \frac {\pi R^4}2$
其切应力:
$\sigma_{12} = -\frac{M_t}{\pi R^4/2}\cdot0$
$\sigma_{13} = \frac{M_t}{\pi R^4/2} \cdot -r$
- 这里需注意柱坐标系中,$\vec ez$为$\vec x_1$的方向,$\vec e_r \sim \vec x_2, \ \ \vec e\theta \sim \vec x_3$
- 得到切应力的最大值:$|\vec{\tau}|_{\max }=\left|M_t\right|^* \frac{2}{\pi R^3}$
对于圆环的情况
$\Phi(r,\theta) = \frac 12(R^2-r^2)$
$I = 2\int_{R_i}^{R_e}\Phi \ rd\theta dr = \frac {\pi( R_e^4-R_i^4)}2$
其切应力:$\sigma{1 \mathrm{r}}=0 \quad \sigma{1 \theta}=-\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{t}}}{\mathrm{I}} \mathrm{r}$
- 切应力的最大值:$|\vec{\tau}|_{\max }=M_t\cdot \frac{2 R_e}{\pi\left(R_e^4-R_i^4\right)}$
数量级关系
切应力 - 受剪力的情况
切应力与剪力的关系
- 分解:
以矩形为例
矩形情况下:
此时有:
数量级关系
数量级关系总结:
应力的约束
韧性材料(Matériau ductile)约束 Contrainte de Von Mises
脆性材料(Matériau fragile)约束 Critère de Rankine
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