RDM Chapitre 1 结构力学模型 Modѐlisation des structures en efforts

力螺旋 Torseur

速度场 Champ des vitesse

$$[V(A)]=\left| \begin{aligned}& \vec{\Omega}\text { (角速度） } \\& \vec{V}(A)\end{aligned}\right.$$

位移向量分配 Le Torseur distributeur des déplacements

$$[U(A)]=\left|\begin{aligned}&{\vec{w}}(\text { vecteur rotation }) \\&{\vec{u}(A)}\end{aligned}\right.$$

力螺旋

$$\begin{aligned} \vec{M}(B) & =\vec{M}(A)+\vec{R} \wedge \overrightarrow{A B} \\ [T(A)] & =\left|\begin{array}{l} \vec{R} \\ \vec{M}(A) \end{array}\right. \end{aligned}$$

力螺旋的变换

叉乘

$$[T(A)] \otimes[U(A)]=\left|\begin{array}{c}\vec{R} \\\vec{M}(A)\end{array}\otimes\right| \begin{gathered}\vec{\omega} \\\vec{u}(A)\end{gathered}=\vec{R} \cdot \vec{u}(A)+\vec{\omega} \cdot \vec{M}(A)$$

微分

$$\frac{d[\mathrm{~T}]}{\mathrm{ds}}(\mathrm{P})=\lim _{\mathrm{P}_1 \rightarrow \mathrm{P}} \frac{\left[\mathrm{T}_1\right]-[\mathrm{T}]}{\mathrm{ds}} \triangleq \left| \begin{aligned}& \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{R}}}{\mathrm{ds}} \\& \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{M}}}{\mathrm{ds}}+\overrightarrow{\mathrm{x}}_1 \wedge \overrightarrow{\mathrm{R}}\end{aligned}\right.$$ $$\frac{\mathrm{d}[\mathrm{U}]}{\mathrm{ds}}=\lim _{\mathrm{P}_1 \rightarrow \mathrm{P}} \frac{\left[\mathrm{U}_1\right]-[\mathrm{U}]}{\mathrm{ds}} \triangleq\left|\begin{aligned}&\frac{\mathrm{d} \vec{\omega}}{\mathrm{ds}} \\&\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{u}}}{\mathrm{ds}}+\overrightarrow{\mathrm{x}}_1 \wedge \vec{\omega}\end{aligned}\right.$$

梁模型 Theorème des poutres 和结构力学假设

• 梁 = 中心纤维 + 正截面

梁模型

中心纤维 la fibre moyenne

• 曲线坐标系 $\left(p, \overrightarrow{t{1}}, \overrightarrow{t{2}}, \overrightarrow{t_{3}}\right)$
• $\vec{t}_{1}$指向曲线 $(C)$ 在 $P$ 的切线方向
• $\vec{t}{2}=R(S) \frac{d \overrightarrow{t{1}}}{d s}$，其中，$R(S)$代表S点的曲率半径

正截面 section droite

• $G$ : 重心 centre de gravité
• $(G, \overrightarrow{x{1}}, \overrightarrow{x{2}} ,\overrightarrow{x_{3}})$ : 主惯性系 repѐre principale d’inertie
• $I, I{2}, I{3}$ = 主惯量 Inertes principales [

假设

1. 正截面中的位移可近似为重心的位移

$$[\mathrm{U}(\mathrm{s})]=\left|\begin{array}{l} \vec{\omega}(\mathrm{s}) \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}(\mathrm{s}) \end{array}=\left[\mathrm{U}\left(\mathrm{G}_{\Sigma}\right)\right]=\right| \begin{aligned} & \vec{\omega}(\Sigma) \\ & \overrightarrow{\mathrm{u}}\left(\mathrm{G}_{\Sigma}\right) \end{aligned}$$

2.欧拉-伯努利假设 Hyporhèse d’Euler - Bernoulli

正截面（正交于中心纤维的面）中的位移可以忽略

$$\left\{\begin{array}{l}\vec{x}_{2} \cdot\left(\frac{d \vec{u}}{d s}+\vec{x}_{1} \wedge \vec{w}\right)=0 \\\vec{x}_{3} \cdot\left(\frac{d \vec{u}}{d s}+\vec{x}_{1} \wedge \vec{w}\right)=0\end{array}\right.$$

3.假设干扰忽略不计

约束 liaison

约束完全与理论力学一致，重要的是未知数数量

光滑圆柱铰链 pivot articulation

• 2D: 两个未知数
  • $\mathrm{R}{\mathrm{Ax}}, \mathrm{R}{\mathrm{Ay}}$
• 3D: 五个未知数
  • $\mathrm{R}{\mathrm{Ax}}, \mathrm{R}{\mathrm{Ay}}, \mathrm{R}{\mathrm{Az}}, \mathrm{M}{\mathrm{Ax}}, \mathrm{M}_{\mathrm{Ay}}$

点支撑 appui simple ponctuel/ supposé bilatéral

• 2D,3D：一个未知数
  • $\mathrm{R}{\mathrm{Ax}}=\mathrm{R}{\mathrm{Az}}=\mathrm{M}{\mathrm{Ax}}=\mathrm{M}{\mathrm{Ay}}=\mathrm{M}_{\mathrm{Az}}=0$
  • 未知：$\mathrm{R}_{\mathrm{Ay}}$

光滑球形铰链 rotule 3D

• 3D：三个未知数
  • $\mathrm{M}{\mathrm{Ax}}=\mathrm{M}{\mathrm{Ay}}=\mathrm{M}_{\mathrm{Az}}=0$

固定支撑 encastrement/ liaison rigide

• 2D：三个未知数
  • $\mathrm{R}{\mathrm{Ax}}, \mathrm{R}{\mathrm{Ay}}, \mathrm{M}_{\mathrm{Az}}$
• 3D：六个未知数
  • $\mathrm{R}{\mathrm{Ax}}, \mathrm{R}{\mathrm{Ay}}, \mathrm{R}{\mathrm{Az}}, \mathrm{M}{\mathrm{Ax}}, \mathrm{M}{\mathrm{Ay}}, \mathrm{M}{\mathrm{Az}}$

受力分析

外力 efforts extérieur

面积力 densité surfacique d’effort

• 施加在$\sumA$上的面积力$\vec T{SA}$

$$\left[F_A\right]=\left| \begin{aligned}& \vec{R}_A=\int_{\Sigma_A} \vec{T}_{S A}(P) d S \\& \vec{M}_A=\int_{\Sigma_A} \overrightarrow{G_A P} \wedge \vec{T}_{S A}(P) d S\end{aligned}\right.$$

• 施加在侧面$S_L$上的力

$$\left[\mathrm{f}_{\mathrm{LS}}(\mathrm{s})\right]=\left| \begin{aligned}& \overrightarrow{\mathrm{f}}(\mathrm{s})=\oint_{\delta \Sigma} \overrightarrow{\mathrm{T}}_{\mathrm{SL}} \\& \overrightarrow{\mathrm{m}}(\mathrm{s})=\oint_{\delta \Sigma} \overrightarrow{\mathrm{G} P} \wedge \overrightarrow{\mathrm{T}}_{\mathrm{SL}}\end{aligned}\right.$$

体积力 densité volumique d’effort

• 体积力 $\vec f_v$

$$\left[\mathrm{f}_{\mathrm{LV}}(\mathrm{s})\right]=\left| \begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{f}}(\mathrm{s})=\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{V}}(\mathrm{P}) \mathrm{dS} \\ & \overrightarrow{\mathrm{m}}(\mathrm{s})=\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathrm{GP}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{f}}_{\mathrm{V}}(\mathrm{P}) \mathrm{dS} \end{aligned}\right.$$

局域力 effort localisé

按照理论力学处理即可

外力平衡

外力平衡方程

对于每个结构体，有三个方程

$$对于结构体i:\sum_{j}[R^{j}_{\rightarrow i}]+\sum_{k}[R^{k}_{k\rightarrow i}]+\sum_{m}[F^{m}_{\rightarrow i}] = 0$$

• $\sum{j}[R^{j}{\rightarrow i}]$代表约束对结构体的作用
• $\sum{k}[R^{k}{k\rightarrow i}]$代表其他结构体对结构体的作用
• $\sum{m}[F^{m}{\rightarrow i}]$代表结构体所受外力

方程与未知数数量

• $NE=NI$ 静定问题Problème isostatique
• $NE<NI$ 超静定问题Problème hyperstatique
• $NE>NI$ 静不定问题Configuration hors équilibre

内力

对于某一点s，将其切断以研究内力

内力

$$[\mathrm{T}] \triangleq\left[\mathrm{T}_{1 \rightarrow 2}\right]=-\left[\mathrm{T}_{2 \rightarrow 1}\right]=\left| \begin{gathered}\overrightarrow{\mathrm{R}}\left(\mathrm{s}_0\right) \\\overrightarrow{\mathrm{M}}_{\mathrm{G}}\left(\mathrm{s}_0\right)\end{gathered}\right.$$

内力平衡

$$\begin{aligned}& {[\mathrm{T}]=\sum\left[\mathrm{F}_{\rightarrow \text { amont }}\right]} \\& {[\mathrm{T}]=-\sum\left[\mathrm{F}_{\rightarrow \text { aval }}\right]}\end{aligned}$$

内力分解

• 轴力 Effort normal $\mathrm{N}=\overrightarrow{\mathrm{x}}_1 \cdot \overrightarrow{\mathrm{R}}$
• 剪力 Effort tranchant $\overrightarrow{\mathrm{T}}=\overrightarrow{\mathrm{R}}-\mathrm{N} \overrightarrow{\mathrm{x}}_1=\mathrm{T}_2 \overrightarrow{\mathrm{x}}_2+\mathrm{T}_3 \overrightarrow{\mathrm{x}}_3$
• 扭矩 Moment de torsion $\mathrm{M}_{\mathrm{t}}=\overrightarrow{\mathrm{x}}_1 \cdot \overrightarrow{\mathrm{M}}$
• 弯矩 Moment de flexion $\overrightarrow{\mathrm{M}}{\mathrm{f}}=\overrightarrow{\mathrm{M}}-\mathrm{M}{\mathrm{t}} \overrightarrow{\mathrm{x}}1=\mathrm{M}{\mathrm{f} 2} \overrightarrow{\mathrm{x}}2+\mathrm{M}{\mathrm{f} 3} \overrightarrow{\mathrm{x}}_3$

局域平衡方程

$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{ds}}[\mathrm{T}(\mathrm{s})]+\left[\mathrm{f}_{(\mathrm{s})}\right]=[0]$$ $$\frac{d N}{d s}=\vec{f}(s) \cdot \vec{x}_1 \quad \frac{d T_2}{d s}=\vec{f}(s) \cdot \vec{x}_2 \quad \frac{d T_3}{d s}=\vec{f}(s) \cdot \vec{x}_3 \\ \frac{d M_t}{d s}=\vec{m}(s) \cdot \vec{x}_1 \quad \frac{d M_{f 2}}{d s}-T_3=\vec{m}(s) \cdot \vec{x}_2 \quad \frac{d M_{f 3}}{d s}+T_2=\vec{m}(s) \cdot \vec{x}_3$$