MMC Chapitre 4 能量分析
MMC Chapitre 4 能量分析
问题的一般形式 Problémes réguliers
- $S_u$:已知位移的部分
- $S_F$:已知所受面积力的部分,包括面积力为零(Libre)
连续介质力学方程
边界条件
两个解题方向
从应变信息出发
- 给出$\underline{\mathrm{\tilde u}}=\underline{\mathrm{u}}^{\mathrm{d}}$,验证是否满足要求
- 计算应力:
- 验证是否满足平衡方程
- 验证是否满足应力的初始条件
从应力信息出发
- 给出应力场$\sigma{i j}(\vec{x})$,验证是否满足初始条件$[\hat \sigma] \mathrm{n}=\mathrm{T}^{\mathrm{d}}$和平衡方程$\sum{j=1,3} \frac{\partial \hat \sigma_{i j}}{\partial x_j}+\rho f_i=0 \quad i=1,2,3$
- 计算形变场
- 计算位移
- 验证位移初始条件
静力学可行场和运动学可行场
Champ Cinématiquement Admissible & Champ Statiquement Admissible
CCA 和 CSA
- 当$\underline{\mathrm{u}}$满足$\underline{\mathrm{u}}=\underline{\mathrm{u}}^{\mathrm{d}} \operatorname{sur} \mathrm{S}_{\mathrm{u}}$,则成$\underline u$为CCA,记作$\tilde{\underline{u}}$
- 当$\underline{\underline{\sigma}}$满足 $\underline{\operatorname{div}}(\underline{\underline{\sigma}})+\rho \underline{f}=0$ 和 $\underline{\sigma} \underline{\underline{n}}=\mathrm{T}^{\mathrm{d}} \text { sur } \mathrm{S}_{\mathrm{F}}$,成$\underline{\underline{\sigma}}$为CSA,记作$\hat{\underline{\underline{\sigma}}}$
基本引理
- 其中,$\mathrm{W}{\mathrm{f}}^{\mathrm{d}}$和$\mathrm{W}{\mathrm{u}}^{\mathrm{d}}$分别为 $\underline{\tilde{\mathrm{u}}}$ $\underline{\tilde{\mathrm{u}}}$$\hat{\underline{\sigma}}$ 所做的功
证明过程
- $\underline{\operatorname{div}}(\underline{\hat{\underline\sigma}})+\rho \underline{f}=\underline{0}$
- 积分:$\int{\mathrm{V}} \underline{\tilde{\mathrm{u}}} \cdot(\underline{\operatorname{div}}(\underline{\hat{\underline\sigma}})+\rho \underline{f})=0 = \int{\mathrm{V}} \underline{\tilde{\mathrm{u}}} \cdot(\underline{\operatorname{div}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}})) +\int_{\mathrm{V}} \underline{\tilde{\mathrm{u}}} \cdot \rho \underline{f}$
处理第一项,应用乘法的微分公式:
- 处理第一项:
- $\int{\mathrm{S}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\mathrm{n}}) \cdot \underline{\tilde{\mathrm{u}}}=\int{\mathrm{S}{\mathrm{F}}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\mathrm{n}}) \cdot \underline{\tilde{\mathrm{u}}}+\int{\mathrm{S}_{\mathrm{U}}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\mathrm{n}}) \cdot \underline{\tilde{\mathrm{u}}}$
- $\int{\mathrm{S}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\mathrm{n}}) \cdot \underline{\tilde{\mathrm{u}}}=\int{\mathrm{S}{\mathrm{F}}} \mathrm{T}^{\mathrm{d}} \cdot \underline{\tilde{\mathrm{u}}}+\int{\mathrm{S}_{\mathrm{U}}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\underline{n}}) \cdot \mathrm{u}^{\mathrm{d}}$
- 处理第二项:
- $\underline{\underline{\hat{\sigma}}}: \underline{\underline{\underline{\mathrm{H}}}}=\underline{\underline{\hat{\sigma}}}: \frac{1}{2}\left(\underline{\underline{\tilde{\mathrm{H}}}}+\underline{\underline{\tilde{H}}}^{\mathrm{t}}\right)=\underline{\underline{\underline{\sigma}}}: \underline{\underline{\tilde{\varepsilon}}}$
- 处理第一项:
- 得到结果
势能定理
也有译作能量势定理的
由CCA计算的应变能
外力做功
势能
势能定理
补充能量定理
由CSA计算的应变能
位移做功
补充能量
补充能量定理
辅助原理 Theoremes annexes
Théorème de comparaison
Théorème du travail
示例
平面变形
OB,OD已知位移为0,提供CCA信息
BC,CD已知受力,提供CSA信息
- CCA:
- $\tilde{\overrightarrow{\mathrm{u}}}=\overrightarrow{0}$
- $\mathrm{U}(\underline{\tilde{\mathrm{u}}})=\mathrm{W}(\underline{\tilde{\mathrm{u}}})-\int{\mathrm{S}{\mathrm{BC}}}-\mathrm{p}_2 \cdot \underline{\tilde{\mathrm{u}}}$
- CSA:
- $\begin{aligned}& \operatorname{div}(\underline{\underline{\sigma}})=\underline{0}\quad &\text{sur }(\mathrm{D}) \& \underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\mathrm{n}}_1=\underline{0} \quad &\text {sur CD } \& \underline{\underline{\hat{\sigma}}} \underline{\mathrm{n}}_2=-\mathrm{p}_2 \quad &\text {sur } \mathrm{BC}\end{aligned}$
- $\mathrm{W}_{\mathrm{u}}^{\mathrm{d}}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}})=0$
- $H(\underline{\underline{\underline{\sigma}}})=-\mathrm{W}(\underline{\underline{\hat{\sigma}}})$
- $H(\underline{\underline{\sigma}})=\mathrm{U}(\underline{\mathrm{u}})=\frac{1}{2}\left{\mathrm{~W}{\mathrm{u}}^{\mathrm{d}}(\underline{\underline{\sigma}})-\mathrm{W}{\mathrm{F}}^{\mathrm{d}}(\underline{\mathrm{u}})\right}$
- $H(\underline{\underline{\sigma}})=\mathrm{U}(\underline{\mathrm{u}})=0-\frac{1}{2} \int_{\mathrm{BC}}-\mathrm{p}_2 \cdot \underline{\mathrm{u}}$
- $H(\underline{\underline{\hat{\sigma}}}) \leq H(\underline{\underline{\sigma}})=\mathrm{U}(\underline{\mathrm{u}}) \leq \mathrm{U}(\underline{\underline{\mathrm{u}}})$
- $H(\underline{\underline{\hat{\sigma}}}) \leq \frac{\mathrm{p}}{2} \int_{\mathrm{BC}} \overrightarrow{\mathrm{n}}_2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{u}} \leq \mathrm{U}(\underline{\tilde{\mathrm{u}}})$
近似求解
- 设:
计算CCA
- 根据CCA:
- 得到:
计算应变和应力
- 求导求出应变
- 应用胡克定律求出应力
计算形变能
计算力所做的功
给出势能
※估计势能最小值
- 在势能最小值时,应有导数为0
- 得到
- 代入实际值
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