MMC Chapitre 1 应力 contraintes
MMC Chapitre 1 应力 contraintes
力和平衡
外力的分类
体积力 densité volumique d’effort extérieur
均匀作用在一定体积中的力,如重力等
- 单位体积内,体积力的公式一般表示为
- 其中:
- $\rho$表示物体的密度
- $\vec f$表示体积力强度
- 在体积力与质量不相关的特殊情况,体积力也会表示为:
面积力 Densité surfacique d’ efforts extérieurs
- 单位面积下面积力表示为:
- 其中:
- $\vec T$代表面积里强度,在某些时候也会被称为张力$contraites$
根据与表面法向量的关系,可以分解为:
正应力 la contrainte normale $T_n$
切应力 la contrainte tangentielle $\vec T_t$
注意,在这里的定义中,正应力不是一个向量
内力
在讨论内力时,我们会将一个连续介质在某一个面“切开”研究,其中$\vec n$是截面的法向量,而$\vec T$是该面的张力
作用力-反作用定律
柯西四面体定律
对于柯西四面体:
- 该公式可以很简单的由受力平衡方程得到:
应力张量 tenseur des contraintes
- 柯西四面体定律为我们提供了分解应力的另一种方法,在这种分解下,我们可以得到应力张量
- 表示为:
- $\underline{\underline{\sigma}}$成为R坐标系下的张力张量
从力矩平衡到应力张量的对称性
我们使用了受力平衡方程定义了张力张量,而我们将用力矩平衡方程来验证应力张量的对称性
- 力矩平衡方程:
$$
\iiint_V \vec{x} \wedge \rho(\vec{f}-\vec{a}) d v+\iint_{S_i, S} \vec{x} \wedge \vec{T} d S=\overrightarrow{0}
$$
- 接下来用张量形式证明
- 体积力项为三阶无穷小量,是面积项的高阶无穷小,可以略去
- 转化为张量形式
- $0 = \int{s}\varepsilon{ijk}xj\sigma{lk}n_{l}$
- 其中,$\varepsilon$为Levi-cicvita符号,向量叉乘就写作这个样子
- 应用高斯公式
- $0 = \intV\varepsilon{ijk}\frac{\partial(xj\sigma{lk})}{\partial x_l}dV$
- 其中,$\frac{\partial(xj\sigma{lk})}{\partial x_l}$即为散度
- 乘法求导法则
- $0 = \intV\varepsilon{ijk}(xj\frac{\partial \sigma{lk} }{\partial xl}+\sigma{lk}\frac{\partial x_j}{\partial x_l})dV$
- $x_j$是一阶无穷小量,消去
- $0 = \intV\varepsilon{ijk}\sigma{lk}\frac{\partial x_j}{\partial x_l}dV = \int_V\varepsilon{ijk}\sigma{lk}\delta{jl}dV = \intV\varepsilon{ijk}\sigma_{jk}dV$
- 根据$V$的任意性
- $\varepsilon{ijk}\sigma{jk} = 0$
- 由于$j,k$都是哑标,故可以交换
- 由此证明其对称性
- 最终得到结论:
应力张量分解
应力张量分解与应力分解基本一致
更换坐标系
应力张量依赖坐标系
- 根据矩阵关系,我们知道:
- 同理的
- 因此,定义传递矩阵为新基在老基下的坐标:
- 新基下的应力张量:
从直角坐标系到柱坐标系
我们这里认为直角坐标系的z轴和柱坐标系的z轴作为$x_1$
- 传递方程
- 换基计算
局部平衡方程
之前,我们使用柯西四面体上的受力平衡定义了应力张量;现在,我们在正方体上研究局部平衡
- 对于一个形状为正方体的体积微元:
- 其体积力:$\rho(\overrightarrow{\mathrm{f}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}) \mathrm{dV}$
- 其面积力:$\begin{array}{lll}
&\mathrm{T}\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{dx}_1, \mathrm{e}_1\right) \mathrm{dS}_1 ; & \mathrm{T}\left(\mathrm{x}_1,-\mathrm{e}_1\right) \mathrm{dS}_1=-\mathrm{T}\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{e}_1\right) \cdot \mathrm{dS}_1 \&
\mathrm{~T}\left(\mathrm{x}_2+\mathrm{dx}_2, \mathrm{e}_2\right) \mathrm{dS}_2 ; & \mathrm{T}\left(\mathrm{x}_2,-\mathrm{e}_2\right) \mathrm{dS}_2=-\mathrm{T}\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{e}_2\right) \cdot \mathrm{dS}_2 \&
\mathrm{~T}\left(\mathrm{x}_3+\mathrm{dx}_3, \mathrm{e}_3\right) \mathrm{dS}_3 ; & \mathrm{T}\left(\mathrm{x}_3,-\mathrm{e}_3\right) \mathrm{dS}_3=-\mathrm{T}\left(\mathrm{x}_3, \mathrm{e}_3\right) \cdot \mathrm{dS}_3
\end{array}$ - 有平衡方程:
当体积微元足够小:
得到局部平衡方程 Equations d’équilibre local
不变量分析和正交基
同一个矩阵在不同基下为相似矩阵,这些矩阵具有若干不变量,这一部分的知识待未来代数3,4的内容被整理后给出补充
- 在这一章中,我们考虑一个满足$\sigma_1>\sigma_2>\sigma_3$的正交基,使得:
- 换言之,我们要实现应力张量矩阵的对角化
- 对角化方式与分析中的方法一致,再次不再赘述,可参考TD2的第二题的第10小问
应力张量分解
- 并不困难,按照公式分解即可
- 偏离(后半)部分被记作:$\underline{\underline{s}}$
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