高斯波包的例子 in 算符作用在左矢和右矢上 Action des opérateurs sur les kets et les bras
高斯波包的例子
薛定谔方程的解
首先我们验证下式是否是一个自由粒子的薛定谔方程的解:
我们只需要将其带入薛定谔方程:
经过一系列繁杂的计算过程${}^{[\text{计算1}]}$,得到:
由此,我们可以证明$\psi(x, t)$是一个薛定谔方程的解,当且仅当:
分解为平面波的叠加
我们希望将$\psi$表示为一系列平面波的叠加,即将其表述为以下形式:
根据这个形式,我们可以使用$k$和$x$之间的傅里叶变换来获得$c_k$:
设$u=\frac{x}{\sqrt{2 a(t)}}+\frac{i k \sqrt{2 a(t)}}{2}$,则有:
原式转化为:
由此,波函数可以表示为平面波的叠加:
计算x和p的标准差
我们假设$\psi(x,t = 0)$为实数,这意味着$a(0) = a_0$为实数${}^{[\text{计算2}]}$。波函数对应的概率密度:
这满足一个正态分布:
然后根据之前的例子中,我们已经证明过的公式:
解得:
然后验证海森堡不确定性原理:
附录
计算1:
计算2:
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