高斯波包的例子

薛定谔方程的解

首先我们验证下式是否是一个自由粒子的薛定谔方程的解：

\[ \psi(x, t)=\frac{1}{\sqrt{a(t)}} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right] \]

我们只需要将其带入薛定谔方程：

\[ -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t) \]

经过一系列繁杂的计算过程\({}^{[\text{计算1}]}\)，得到:

\[ -\frac{\hbar^2}{m}=i \hbar a^{\prime}(t) \]

由此，我们可以证明\(\psi(x, t)\)是一个薛定谔方程的解，当且仅当：

\[ a(t)=\frac{i \hbar}{m} t+a_0 \]

分解为平面波的叠加

我们希望将\(\psi\)表示为一系列平面波的叠加，即将其表述为以下形式:

\[ \psi(x, t)=\int_{-\infty}^{+\infty} c_k e^{i(k x-\omega t)} \mathrm{d} k=\int_{-\infty}^{+\infty} c_k(t) e^{i k x} \mathrm{~d} k \]

根据这个形式，我们可以使用\(k\)和\(x\)之间的傅里叶变换来获得\(c_k\)：

\[ c_k(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x, t) e^{-i k x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi a(t)}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}-i k x\right] \mathrm{d} x \]

设\(u=\frac{x}{\sqrt{2 a(t)}}+\frac{i k \sqrt{2 a(t)}}{2}\)，则有：

\[ u^2=\frac{x^2}{2 a(t)}-\frac{k^2}{2} a(t)+i k x,\quad \mathrm{d} x=\sqrt{2 a(t)} \mathrm{d} u \]

原式转化为:

\[ c_k(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi a(t)}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[-u^2-\frac{k^2}{2} a(t)\right] \sqrt{2 a(t)} \mathrm{d} u=\exp \left[-\frac{k^2}{2} a(t)\right] \]

由此，波函数可以表示为平面波的叠加：

\[ \psi(x, t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{k^2 a_0}{2}} e^{i(k x-\omega t)} \mathrm{d} k \]

计算x和p的标准差

我们假设\(\psi(x,t = 0)\)为实数，这意味着\(a(0) = a_0\)为实数\({}^{[\text{计算2}]}\)。波函数对应的概率密度：

\[ ||\psi(x, t)|^2=\frac{1}{|a(t)|}\left|\exp \left[-\frac{x^2}{a(t)}\right]\right|=\frac{1}{\sqrt{a_0^2+\frac{\hbar^2}{m^2} t^2}} \exp \left[-\frac{a_0 x^2}{a_0^2+\frac{\hbar^2}{m^2} t^2}\right] \]

这满足一个正态分布：

\[ 2 \sigma_x^2(t)=a_0+\frac{\hbar^2}{m^2 a_0} t^2 \Leftrightarrow \sigma_x^2(t)=\frac{a_0}{2}+\frac{\hbar^2}{2 m^2 a_0} t^2 \]

然后根据之前的例子中，我们已经证明过的公式：

\[ \sigma_x^2(t)=\frac{\sigma_p^2}{m^2} t^2+\sigma_{x 0}^2 \]

解得：

\[ \left\{\begin{array}{l} \sigma_p(t)=\frac{\hbar}{\sqrt{2 a_0}} \\ \sigma_x(t)=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m^2 a_0} t^2+\frac{a_0}{2}} \end{array}\right. \]

然后验证海森堡不确定性原理：

\[ \sigma_x(t) \sigma_p(t)=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m^2 a_0} t^2+\frac{a_0}{2}} \frac{\hbar}{\sqrt{2 a_0}}=\sqrt{\frac{\hbar^4}{4 m^2 a_0^2} t^2+\frac{\hbar^2}{4}}\ge \frac \hbar 2 \]

附录

计算1：

\[ \begin{aligned} & -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{\sqrt{a(t)}} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right]\right)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{\sqrt{a(t)}} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right]\right) \\ \Leftrightarrow & -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{1}{\sqrt{a(t)}} \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{x}{a(t)} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right]\right)=i \hbar a^{\prime}(t)\left(-\frac{1}{2 a^{3 / 2}(t)}+\frac{1}{\sqrt{a(t)}} \frac{x^2}{2 a^2(t)}\right) \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right] \\ \Leftrightarrow & -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{1}{a^{3 / 2}(t)}\left(-1+\frac{x^2}{a(t)}\right) \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right]=i \hbar a^{\prime}(t) \frac{x^2-a(t)}{2 a^{5 / 2}(t)} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(t)}\right] \\ \Leftrightarrow & -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{x^2-a(t)}{a^{5 / 2}(t)}=i \hbar a^{\prime}(t) \frac{x^2-a(t)}{2 a^{5 / 2}(t)} \Leftrightarrow-\frac{\hbar^2}{m}=i \hbar a^{\prime}(t) \end{aligned} \]

计算2：

\[ \psi(x, t=0)=\frac{1}{\sqrt{a(0)}} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a(0)}\right]=\frac{1}{\sqrt{a_0}} \exp \left[-\frac{x^2}{2 a_0}\right] \]