TD 6：爱因斯坦光电效应，双能级模型
TD 6：爱因斯坦光电效应，双能级模型
- \(h\nu_0 = E_2-E_1\)
基础知识
爱因斯坦知道的信息：
- 赫兹发现了光电效应
- 波尔提出了原子的基本模型-行星模型，能级
- 玻尔兹曼：\(N_2/N_1 = exp(-(E_2-E_1)/kt) = exp(-h\nu/kt)\)
- 普朗克提出了量子假说：\(u(\nu) = \frac{8\pi h \nu^3_0}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /kt}-1}\)
从1到2的电子[单位时间]：
- 受激吸收：\(N_1 U(\nu_0)B_{12}\)
- 吸收系数：\(B_{12}\)
从2到1的电子
- 自发辐射：\(N_2A_{21}\)
- 辐射系数：\(A_{21}\)
电子数守恒：
\[ u(\nu) = \frac{N2}{N1}\frac AB \]
带入玻尔兹曼方程
\[ u(\nu) = \frac AB\frac{1}{e^{h\nu/kt}} \]
发现跟普朗克结论不一致
带回去发现：\(u(\nu) = \frac AB\frac{1}{N_1/N_2-1}\)
得到[稳态条件下电子平衡]：
\[ N_1u(\nu)B_{12} = N_2A_{21}+N_2u(\nu)B_{12} \]
得到受激辐射：\(N_2u(\nu)B_{12}\)
- 受激辐射的存在
- 受激辐射的吸收率等于吸收系数：\(B_{21} = B_{12}\)
- \(\frac AB = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} = \frac{8\pi h}{\lambda^3}\)
其他补充：
- \(uB = W_{21},\quad uB = W_{12}\)
- \(A = 1/\tau_{sp}\)
其他其他补充：
- 能级可能有一定宽度，只有当宽谱光覆盖了能级的宽度，\(N_2B = W_{21},\quad N_1B = W_{12}\)这种形式才是合理的。
- 如果入射光是准单色光或者不能覆盖全部的宽度，则需要再加上辐射的线型函数。对于准单色光，我们称其线形函数为\(g = 1/\nu_{at}\)
- \(uBg = W_{21},\quad uBg = W_{12}\)
1. 给出N1和N2的变化率
\[ \frac{dN_2}{dt} = N_1uBg-N_2uBg-N_2A \]
\[ \frac{dN_1}{dt} = -N_1uBg+N_2uBg+N_2A \]
2. 估算 \(N_1/N_2\)和 \(\delta N/N_0\)，证明介质是吸收态
- 在稳态时，有 \(\frac{dN_2}{dt}=-\frac{dN_1}{dt}\)
- \(AN_2+WN_2-WN_1 = 0\)
\[ \frac{N_1}{N_2} = \frac{A+W}{W} = 1+\frac AW>1 \]
- 达到稳态后，低能级的电子数多于高能级的电子数【激光实现的关键在于实现电子数的反转】【对于二能级系统，电子数的反转是不可能的】
\[ \frac{N_2-N_1}{N_2+N_1} = \frac{1-N_1/N_1}{1+N_1/N_2} = -\frac{A}{2W+A} \]
要验证吸收态，需判断u随位移的变化
\[ \frac{du}{dz} = \frac{du}{dt}\frac{dt}{dz} = (\Delta N) h\nu \frac nc \]
- 在这个过程中，\(\Delta N = WN_2-WN_1\)，因为入射光是有方向的，而自由辐射是无向的，不算在其中
- \(\Delta N <0\), 所以是吸收态
- 吸收系数\(\alpha = \Delta NBgh\nu\frac nc\)
3. 入射能量极大时的情况
\[ \frac{N_1}{N_2} = 1+\frac A{ugB} \to 1, \quad N_1 = N_2 \]
\[ \Delta N \to 0, \quad \frac{du}{dz} \to 0 \]
4. 氦氖激光器的\(633nm\)波长的光
横截面为\(1mm^2\)，相关长度\(20cm\)[相干时间\(\Delta\)\(t = \frac {\Delta l}c\) = \(2/3\times10^{-9}\)]，、\(\Delta \nu_{at} = 250GHz\)
- 有相干时间于线宽的关系:
\[ \Delta t \Delta \nu = 1, \Delta \nu = 1.5GHz<\Delta \nu_{at} \]
- 因此g要保留
考虑光学特性
- \(u = 0 \Rightarrow \alpha_0 = -N_0Bgh\nu\frac nc\)
- \(\alpha = \alpha_0/2 \Rightarrow \Delta N = -N_0/2 \Rightarrow 1+2ug\frac BA = 2\\ u = ...., \quad P = usc = 2.47w\)
5. 强脉冲穿过介质可以抑制展宽
超过饱和线的部分不会被吸收，而饱和线以下的部分则会被吸收一部分，导致展宽下降
