TD2：光栅，傅里叶光学

  1. 假设光栅是无限长的，周期为p，单个周期的通过长度为a，【光栅到屏幕的距离可以视为镜二的焦距的二倍】计算屏幕上的强度分布：

    • 通过光栅的光可以视为：$f(x) = Rect(\frac x a)\otimes \sum\delta(x-np)$
    • 其傅里叶变换为：$\widehat f(k_x) = asinc(ak_x)\cdot\frac 1 p \sum \delta(k_x-\frac n p)$
    • 转换到屏幕所在面坐标：$c
      \widehat f(x’) = asinc(a\frac{x’}{2\lambda f_2})\cdot\frac 1 p \sum \delta(\frac{x’}{2\lambda f_2}-\frac n p)$

    • 由于强度分布正比于傅里叶变换，存在k，使得：

    • 公式中n代表模态，比如第零模态出现在$x’ = 0$，之后 每个模态之间差$\frac{2\lambda f}{p}$

  2. 屏幕总长度为L = 28.7nm，总像素数3648个
    • 研究其能显示的波长范围和最小波长分辨率
    • 波长范围跟L相关，对于第一级，$x’ = \frac{2\lambda f_2}{p}$，求$L= \frac{2\Delta\lambda f_2}{p}\Rightarrow\Delta\lambda = \frac{Lp}{2f_2} = 7034.3nm$
    • 最小分辨率：$\frac{\Delta\lambda}{3648} = 1.93nm$

  3. 考虑光栅长度为d = 20mm，计算新的强度分布：

    • 在这种情况下，$f(x) = Rect(\frac x d) \cdot[ Rect(\frac x a)\otimes \sum\delta(x-np)]$

    • 计算傅里叶变换之后：$\widehat f(k_x) = dsinc(dk_x) \otimes [asinc(ak_x)\cdot\frac 1 p \sum \delta(k_x-\frac n p)]$

    • 此时的条纹总宽度：$\frac{4\lambda f_2}{d}$， $\Delta x’ = \frac{2\lambda f_2}{d} = 3.4\mu m$

    • 注意，$sinc(\pm 1) = 0$，这对应着条纹宽度
    • 而屏幕的长度分辨率：$\Delta x = \frac {28.7}{3648} = 7.87\mu m > \Delta x’$
    • 所以，考虑光栅宽度导致的展宽提升并不会反映在屏幕上
  4. 由光源本身宽度导致的展宽提升体现在x的偏移上，例如在$x_{optique,0} = 5\mu m$时，经过两个透镜的放大，最终体现在屏幕上：
    • $\Delta x’0 = \frac {x{optique,0}}{42}\times68 = 8.1\mu m$
    • 最终的展宽：$\Delta x_{final} = 2\Delta x’_o+\Delta x’ = 19.6\mu m>7.87\mu m$