Cours 6:激光
Cours 6:激光
激光
激光的历史和描述
- 传统光源相关长度小,光谱;方向性差
基本原理:受激辐射&电子数反转
- 受激辐射本身有良好的相关长度和单色性
- 优先考虑发射方向(模式),以尝试通过连续受激辐射放大现象:使用cavité Fabry Perot【法布里-珀罗腔】
这里我们考虑一维共振腔,即入射光垂直于镜面
为了能够使受激辐射出的光子大于用于照射的光子数量,需要电子数的反转。也就是高能级电子数多于低能级电子数。
共振腔
传播方程和解
- 传播方程:$\vec \Delta \vec E -\frac \varepsilon {c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2} = 0$
- 考虑驻波:$E(z,t) = f(z)\chi(t)$
得到新的方程:
考虑初始条件:$f(0) = f(L) = 0$
- 解得:$f(z) = f_0sin(k_Pz)\quad avec \quad k_p = p \frac \pi L$
最终得到空腔内电场空间分布:
色散关系,$k_p,\nu_p,\lambda_p$
- $k_p = p \frac \pi L = \sqrt{\varepsilon}\frac {\omega_p} c = n\frac{2\pi\nu_p}{c} = n\frac{2\pi}{\lambda_p}$
- $\nu_p = p\frac c{2nL}$
- $\lambda_p = \frac {2nL}{p}$
- 其中,n为空腔内折射率,p为模态数
- 两模态间距:$\Delta\nu_c = \frac c {2nL}$
真实情况:考虑输入,输出
- 注意这里$E_c$的表达,由于r已经是比例系数,不需要减去出射的部分
- 得到输出:
- 再另一种情况中,光源在共振腔内部产生,此时:$E_a= r_1+E_0$
- 修改公式有:
考虑损耗
认为除了镜面反射的损耗$r_1,r_2$,在传播过程中会有吸收和散射导致的损耗【Loi de Beer-Lambert】
- $u(z) = u0e^{-(\alpha{abs}+\alpha{diff})z}(r_1r_2)^2 = u_0e^{-\alpha{eff}z}\quad avec \quad \alpha{eff} = \alpha{abs}+\alpha_{diff}+\frac 1Lln(\frac 1 {r_1r_2})$
- 体现在电场中,有:
- $Eb = E_aexp(ikL)exp(-\frac {(\alpha{abs}+\alpha_{diff}) L} 2)$
- $Ed = E_cexp(ikL)exp(-\frac {(\alpha{abs}+\alpha_{diff}) L} 2)$
- 除以二的原因使上式是能量关系
- 真实情况导致缝宽的出现Élargissement des pics
- 最终得到输出:
- T 代表强度(能量)的透射系数,见第4章最后
品质因子
$Q_p = \frac{\nu_p}{\Delta \nu_p} = \frac {2\pi}{T_p}\frac u{|du/dt|}$
- 这里的$T_p$是周期
- 其中$|du/dt|$代表周期能量损失:$|du/dt| = |\frac{du}{dz}\frac{dz}{dt}| = \alpha_{eff}u\frac cn$
- 得到:$Qp = \frac {2\pi}{T_p}\frac n{c\alpha{eff}}$
- 又因为:$\frac{2\pi n}{T_pc} = \frac{\omega_pn}{c} = k_p = \frac{2\pi n}{\lambda_p}$
- 得到:$Qp = \frac{2\pi}{\lambda_p}\frac{nL}{\alpha{abs}L+\alpha_{diff}L-ln(r_1r_2)}$
- 又因为:$u = u_0e^{-t/\tau_p}$
- 得到:$Q_p =\frac{2\pi}{T_p}\tau_p = \omega_p\tau_p$
$Qp = \frac{\nu_p}{\Delta \nu_p} = \frac {2\pi}{T_p}\frac u{|du/dt|}= \frac {2\pi}{T_p}\frac n{c\alpha{eff}}= \frac{2\pi}{\lambdap}\frac{nL}{\alpha{abs}L+\alpha_{diff}L-ln(r_1r_2)}=\frac{2\pi}{T_p}\tau_p = \omega_p\tau_p$
持续时间(Durée de vie)和平均移动距离(Parcours moyen)
- Durée de vie:$\tau_p = \frac{Q_p}{\omega_p}$
- Parcours moyen:$Lp = \frac cn\tau_p = \frac 1{\alpha{eff}}$
活性介质
激光要求电子数反转
电子数变化:以$\tau$表示自发辐射
- R代表从高能级向能级2跃迁的电子数
- $-\frac {N_1}{\tau_1}$代表从能级1向更低能级的跃迁
- 平衡时,认为$-W{12}N_2+W{12}N_1 = 0$
- $W{12} = B{12}u(\nu{12})g(\nu{12})$
- 根据平衡$dN_i/dt= 0$:
- 在有入射光的情况下:$-W{12}N_2+W{12}N_1 \ne 0$
- 根据相同的方法,根据平衡$dN_i/dt= 0$:
- 设能量$u{sat} = \frac 1{\tau_sB{12}},$则有:$\Delta N = \frac{\Delta N0}{1+u/u{sat}}$(忽略$g(\nu)$)
放大增益
$du_1 = \beta(\nu)u_1dz$
- $\beta(\nu) = \frac{nh\nu}cB_{12}g(\nu)\Delta N = \sigma(\nu)\Delta N$
- $\beta(\nu) =\frac{\beta0{\nu}}{1+u(\nu)/u{sat}(\nu)}$
增益阈值
- 能量损失:$du_2 = -\alpha_cu_2dz$
- 若使激光器输出,须有:$\beta_s-\alpha_c = 0$
- 带入电导率:
- 这里$\tau_{sp}$是自发辐射时间,见第五课,爱因斯坦系数
粒子数阈值
- 带入吸收系数:$\beta_s=\alpha_c = \frac{\omega}{cQ} = \frac{1}{c\tau_c}$,这里的$\tau_c$等价于在本节课笔记中的品质因子节中的$\tau_p$
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