Cours 5：光与物质相互作用的量子描述和半经典描述

11月14日，没有带笔记本，故发现电子笔记远胜于纸质笔记

Révision: 对于使用经典力学的处理方法

• 对于dielectrique的阻尼震动模型 $m_e\frac {d^2x}{dt^2} = -kx$
• 对于金属（metaux）的Drude模型 $m_e\frac{d^2x}{dt^2}+m_e\gamma_e\frac{dx}{dt} = -eE_0e^{i\omega t}$
• 电磁波的散射：瑞利散射，共振或者汤姆森散射 [小于，接近，大于]

这些方法忽略的量子性

原子，分子和固体的量子描述

孤立原子-离散能级

• 薛定谔方程

  $$[-\frac{ℏ}{2m_e}\Delta + V(r)]\phi = E\phi$$
  • n ：主量子数
  • l：轨道量子数[0, 1, …, n-1]
  • m：磁量子数 $\pm l$

双原子分子

震动-谐振子模型

• 量化的势阱中粒子能量

  $$E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega, n = 0,1,2,...$$

  • 弹性系数k:

    $$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}},\quad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$

E ~ 1 eV  gamme des proches IR

转动-刚性旋转器(de moment d ’inertie I)

• 围绕重心的转动动能

  $$E_c = \frac12I\omega^2 = \frac{L^2}{2I} = \frac{L^2}{2\mu r^2}, \\ \mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$

• 动量模量的量化

  $$E_l = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2I}\\ \Delta E = E_l-E_{l-1} = l\frac{\hbar^2}{l}$$

E ~ 0,001 - 0,01 eV  gamme des IR lointains

结合转动和平动

$$E = -V_0+(n+\frac12)hv+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2I}$$

SOlIDE 固体

能带

• bande occipée: 满带，被电子填满
• bande permise: 导带或者空带
• bande interdite: 带隙

光子（不明作用）

半经典方法

在量子描述中，场和物质都被量化，而在半经典描述中，仅有物质被量化

这些能级可能是电子你呢合计，也可能是震动，旋转能级

玻尔兹曼分布

$$\frac{N_2}{N_1} = exp[-\frac{E_2-E_1}{kT}]$$

原子-光子相互作用

自发辐射 Émission spontanée

• 辐射能量为 $hv = E2-E_1$, 辐射概率 $p{sp}$正比于电导率 $\sigma$
• 单位时间内，辐射的原子数 $\delta N = -p_{sp}N\delta t$, 得到

$$
N= N(0)exp(-t/\tau) \quad avec \quad \tau_{sp} = p^{-1}_{sp}
$$

• 自发辐射发生在各个方向

吸收 Absorption

• 对于单个电子，吸收能量为$hv = E2-E_1$，辐射概率 $p{ab}$正比于电导率 $\sigma$
• 对于n个光子，taux de probabilité 吸收概率： $P{ab} = np{ab} = w_{12}$
• 对于N个基态原子，单位时间内辐射数$\delta N = -w_{12}N\delta t$

受激辐射 Émission stimulée

• 对于n个光子，$P{st} = np{st} = w_{21}$
• 概率$p_{st}$正比于$\sigma$
• 被激发的光子是原光子的克隆
• 注意这里强调的是从2到1的过程，这个过程需要光的激发才能完成

光谱

孤立原子的辐射过程

• 辐射过程包括从2到1的辐射和从2到0的辐射

• $\Delta \nu$是$g(V)$取到1/2位置的v的2倍

均匀放大 Élargissemnet homogène

所有原子相同：相同的光谱分布，相同的频率（如弹性碰撞）

非均匀放大 Élargissement inhomogène

原子具有以频率为中心的光谱分布（多普勒效应：热搅拌、湍流等）

爱因斯坦参数

Hypothèse: interactions entre une onde polychromatique et une collection d’atomes identiques avec

爱因斯坦假设

结合电子量守恒$\frac{dN_2}{dt} = -\frac{dN_1}{dt}$

得到总的电子变换方程：

$$\frac{dN_2}{dt} = B_{12}u(\nu_{12})N_1 -B_{21}u(\nu_{12})N_2-A_{21}N_2$$

平衡时，$\frac{dN2}{dt} = 0 \Rightarrow u(\nu{12}) = \frac{A{21}/B{21}}{B{12}N_1/B{21}N_2-1}$

结合开头提到的玻尔兹曼方程：$\frac{N_2}{N_1} = exp[-\frac{E_2-E_1}{kT}]$，得到：

$$u(\nu_{12}) = \frac{A_{21}/B_{21}}{B_{12}/B_{21}exp(h\nu_{12}/kt)-1}$$

结合普朗克方程：$u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3/c^3}{exp(h\nu/kT)-1}$推得：

$$B_{12} = B_{21}\quad et \quad A_{21}/B = 8\pi hv^3/c^3 = 8\pi h/\lambda^3$$

得到结论：

$$p_{sp} = A_{21} = \tau_{sp}^{-1}\\W_{12} = W_{21} = \frac{\lambda^3}{8\pi h\tau_{sp}}u(\nu)$$

单色光和多色光情况

由于能级本身具备一些宽度$\Delta\nu_{at}$，如果光源不能覆盖整个能级的宽度，则需要做一些修正

• 对于单色光，$W = Bug(\nu_1)$
• 对于多色光，$W= \int_{\Delta \nu}Bug(v)dv$
• 如果$\Delta \nu > \Delta \nu_{at}，$则能全部覆盖能级，此时不需要乘以$g(\nu)$

能量的吸收和释放

在计算能量的吸收时，由于入射光本身是有方向的，所以不考虑自发辐射的无向光输出

$$\frac{du(\nu,t)}{dz} = \frac{du(\nu,t}{dt}\frac{dt}{dz} = -[h\nu B_{12}g(\nu)N_1-hvB_{21}g(\nu)N_2]u(\nu,z)n\frac{1}{c}$$

得到吸收率：$\alpha(\nu) = \frac{h\nu n}{c}B{21}g(\nu)[N_1-N_2] = \frac{h\nu n}{c}B{21}g(\nu)[\Delta N]$

• 吸收：$\Delta N>0$
• 辐射：$\Delta N <0$

剩余内容

热辐射

发光

荧光和磷光

光源