Cours 4 射线-物质相互作用：传统方法，折射率和复介电常数

注意这一部分最重要的内容：le modèle de Drude主要在TD中出现

基础知识

光的基础知识

原子的谐振子模型

运动方程：$m_e\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \quad avec \quad \omega_0 = \sqrt{\frac k {m_e}}$
运动方程的简谐解：$x = x_0cos\omega_0t$
偶极子：$p = -ex_ocos(\omega_0t)$
辐射电场：$\vec E = \frac 1{4\pi \varepsilon0}(-\frac{\omega_0^2sin(\theta)}{rc^2})p_0e^{-i(\omega t-kr)}\vec e{\theta}, \quad r \gg r_o$
辐射平均功率：$P_m = \frac 1{4\pi \varepsilon_0} \frac{\omega_0^4(ex_0)^2}{3c^3}$

光谱的归一化

介质中的麦克斯韦方程

Résumé

光在物质中传播

偶极

构造方程

构造方程
极化率：$\alpha$
$\varepsilon = 1+N\alpha=1+\chi$

单电子原子：阻尼谐振模型

运动方程：

$\frac{d^2x}{dt^2}+\gamma\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x = -\frac e{m_e}E_0exp(i\omega t)$

解得：$x = \frac{-e/m_e}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\gamma\omega}E_0exp(i\omega t)$
偶极：$\vec p = -e \vec x = \varepsilon_0\alpha\vec E(\vec r_n)$
得到极化系数：

$\alpha = \frac{e^2}{m_e\varepsilon_0}\frac 1{\omega_0^2-\omega^2+i\gamma\omega} = \frac{e^2}{m_e\varepsilon_0}\cdot(\frac{\omega_0^2-\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}-i\frac{\gamma\omega}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2})$

对于第$j$能级，$\omega_{0j}\thicksim10^{16}-10^{17}Hz(UV)$

多电子原子，带电原子/分子：叠加

假设对于某个能级，$fj$个电子有着相同的$\omega{0j}$和$\gamma_j$

叠加后的极化系数：

$\alpha = \sum_j\frac{e^2}{m_e\varepsilon_0}\frac {f_j}{\omega_0j^2-\omega^2+i\gamma_j\omega}$

假设对于某个带电粒子，其电荷为qj，质量为m_j，有相应的$\omega{0j}$和$\gamma_j$

对于单个带电粒子：

$\alpha_j = \frac{q_j^2}{m_j\varepsilon_0}\frac 1{\omega_0j^2-\omega^2+i\gamma_j\omega}$

叠加之后的极化系数（如果需要）：

$\alpha = \sum_j\alpha_j$

对于带电原子/分子，其$\omega_0j$在红外区域
$\varepsilon = 1+N\alpha$

有向极化 d ’orientation

有向极化特征频率在微博范围，在微波炉中应用

介电函数 Fonction diélectrique & Résumé

折射率和复介电常数

折射率和复介电常数之间的关系

$\begin{split}&n^2-\kappa^2 = \varepsilon'\\&2n\kappa = \varepsilon''\end{split}$

从复介电常数到折射率和消光系数

$\begin{cases}n^2 =\frac{\sqrt{\varepsilon'^2+\varepsilon''^2}}{2}+\frac{\varepsilon'}2\\ \kappa^2 =\frac{\sqrt{\varepsilon'^2+\varepsilon''^2}}{2}-\frac{\varepsilon'}2\end{cases}$

在介质L.H.I.中传播 Milieux Linéaires Homogènes et Isotropes

$\vec \Delta \vec E - \varepsilon_0\varepsilon\mu_0\mu\frac{\partial ^2 \vec E}{\partial t^2}-\vec {grad} (div\vec E)-\mu_0\mu\frac{\partial \vec J}{\partial t} = 0$

宏观电中性，绝缘环境，简谐场

宏观电中性：$div\vec D = 0 \Rightarrow div \vec E = 0$
绝缘：$\vec J = 0 \Rightarrow \frac{\partial \vec J}{\partial t} = 0$
简谐场：$\vec E = \vec E_0exp(i\omega t-i\vec k\vec r)$
简化后的方程：$\vec \Delta \vec E - \vec k^2\vec E = 0$
色散关系：$\vec k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon\mu$

宏观电中性，导体

导体：$\vec J = \sigma\vec E$
简化后的方程：$\vec \Delta\vec E+\frac{\omega^2}{c^2}\mu(\varepsilon-i\frac{\sigma}{\varepsilon_0\omega})\vec E = 0$
广义介电函数：$\widetilde{\varepsilon} = \varepsilon-i\frac \sigma {\varepsilon_0\omega}$
与偶极子的联系：