Cours 3：光缆，共振腔

光缆的制造的应用

共振腔 Cavités résonantes

基本介绍

单维度共振腔 cavité Fabry-Pérot

电场强度

  • 方程：$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}+k_z^2E_x = 0, E_x(0) = E_x(L) = 0$
  • 解得：$E_x(z) = aexp(ik_zz)+bexp(-ik_zz)$
  • 代入初始条件：
    • $E_x(0)=0\Rightarrow b = -a \Rightarrow E_x = -2iasink_z z$
    • $E_x(L) = 0\Rightarrow sink_zL =0\Rightarrow k_z = m\frac \pi L$
  • 考虑时间因素，得到最终的电场强度公式：

模式信息：波矢，频率，模态间隔，模数，模密度

  • 波矢：$k_m = m\frac \pi L$
  • 频率：$\nu_m = m\frac c{2(n)L}$
  • 模态间距：$\Delta\nu_c = \frac c{2(n)L}$
  • Nombre de mode：$N(\nu) = \frac 1 {\Delta \nu_c} = \frac{2L}{c}(Hz)^{-1}$
  • Densité de mode：$M(\nu) = \frac{2N(\nu)}{L} = \frac 4c(Hz^{-1}m^{-1})$，这里的2是考虑了$x，y$两个偏振方向

考虑反射带来的损失

  • 上图易于理解，更加详细的解释可以参照第6课激光的相应部分或者TD的相应内容
  • $T = |t_1t_2|$
  • $F = \frac{\pi \sqrt{R}}{1-R} = \frac{\pi\sqrt{|r_1||r_2|}}{1-|r_1||r_2|}$
  • 由于反射带来的峰变宽的量：$\Delta\nu_m = \frac {\Delta \nu_c}F$

考虑其他因素带来的损失，以及两种假设

  • 在真实情况下还会有其他因素带来的损失：
  • 注意这里是能量关系，相位变化$e^{ikz}$不会考虑在其中
  • 假设所有的损失都发生在过程中toutes les pertes sont réparties à l’intérieur de la cavité：
  • 假设所有损失都发生在镜子处toutes les pertes sont localisées sur les miroirs：
  • 在这种情况下，损失函数$F=\frac{\pi \sqrt{R_e}}{1-R_e} = \frac{\pi e^{-\alpha_e L/2}}{1-e^{-\alpha_e L}}$
  • 当 $\alpha_eL\ll1, F\approx \frac \pi {\alpha_eL}$

品质因子 Coefficient de qualité de la cavité，腔中光子寿命 durée de vie du photon，距离衰减系数$\alpha_c$

$Q = \frac \nu {\Delta \nu_m} = 2\pi\frac{总能量}{每周期能量损失} = 2\pi\frac{u}{\frac{du}{dt}T} = \frac{m\Delta \nu_c}{\frac{\Delta \nu_c}{F}} = mF$

  • 推得：
  • 引入的$\tau_c$是腔中光子的寿命
  • 将t替换为z：

三维共振腔

  • 色散关系：$k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} = \pi^2[\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}+\frac{q^2}{c^2}]$
  • 模式数：$N = \frac 13\frac{k^3}{\pi^2}d^3$
  • 模式密度：$M = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}$
  • 模式频率：$\nu_{mnq}\approx\frac{qc}{2L}+(m^2+n^2)\frac{cL}{4qa^2}$

其他共振腔

RÉSUMÉ