Cours 2 傅里叶光学，电磁学基础，波导

傅里叶光学

散射

关于傅里叶变换到频率还是角频率：

$\frac{2\pi}{p}\sum\delta(k_x-m\frac{2\pi}{p}) = \frac{2\pi}{p}\sum\delta(2\pi \sigma_x-m\frac{2\pi}{p}) = \frac{2\pi}{|2\pi|p}\sum\delta( \sigma_x-m\frac{1}{p}) = \frac{1}{p}\sum\delta( \sigma_x-m\frac{1}{p})$

注意，傅里叶变换完之后的结果是$K_x$和$K_y$，我们要将其转换为坐标$\xi,\eta$转换公式：

$K_x = k\frac {\xi} z = \frac {2\pi\xi} {\lambda z}\\K_y = k\frac \eta z = \frac {2\pi\eta} {\lambda z}$

电磁学基础

真空中

结构关系

$\vec B = \frac{\vec k \land \vec E}{\omega}$

色散关系relation de dispersion

$k = \frac{\omega}{c}$

能量关系

$\frac{du}{dt} + div(\vec S) = 0$
能量：$u = \epsilon_0\frac{\vec E^2}{2}+\frac{\vec B}{2\mu_0}$
Poynting矢量：$\vec S = \frac{\vec E \land \vec B}{\mu_0}$

介质中

色散关系

$\vec k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\widetilde\epsilon\mu \Rightarrow k = \frac \omega c \widetilde n$

吸收和色散

$\vec E = \vec E_0 exp(-\frac{\omega \kappa}{c})exp(i\omega(t-\frac{n}{c}z)), n = Re(\widetilde n), \kappa = Im(\widetilde n)$

穿透深度 Profondeur de pénétration

$\delta = \frac c {\omega\kappa} = \frac{\lambda}{2\pi\kappa}$

衰减效率 Coefficient d’atténuation

$\alpha = 2\frac{\omega\kappa}c = \frac{4\pi\kappa}\lambda$

波导

导向模式

模态

有$AC-AB = 2dsin(\theta)\Rightarrow sin(\theta_m) = m\frac{\lambda}{2d}$
m被称为模态modes
第m模态的频率：$\nu_m = m\frac{c}{2d}$

纵向守恒

对于同一模态，波矢的y方向分量为常数：$k_y = k_y(m)$

$k_{ym} = m\frac \pi d$ $\beta_m^2 = k^2-\frac{m^2\pi^2}{d^2} \Leftrightarrow k^2 = \beta^2+k_y^{2}$

模态数量

设M为最大可允许的模态数量，根据$sin(\theta_m) = m\frac{\lambda}{2d}$，有：

$M = E(\frac{2d}{\lambda}) = E(\nu\frac{2d}{c})$

$\lambda$的最大值($M= 0$)longueur d ’onde de coupure du guide：$\lambda_{max} = 2d$
$\nu$的最小值fréquence de coupure：$\nu_{min} = \Delta\nu = \frac c{2d}$
单模态条件： $d\le\lambda\le2d$