Cours 1 导论，傅里叶变换，群速度和相速度，波包，变形

第一课的原始笔记是手写笔记，在勤经苦舟笔记本6中。

导论

不同种类的波

  • 平面波：$\varphi（\vec{r},t） = \varphi_0exp(i(\omega t-\vec k \vec r))$
  • 球面波：$\varphi（\vec{r},t） = \frac{\varphi_0}rexp(i(\omega t-\vec k \vec r))$
  • 驻波：$\varphi（\vec{r},t） = \varphi_0cos(\omega t)cos(\vec k\vec r)$

电磁波参数关系

傅里叶变换

常用函数傅里叶变换

Spectre de fréquence 频谱

  • $|A(\omega)|^2 = 4|\widehat f (\omega)|^2_{\omega>0}$

Entre largeurs

  • 函数在$x\pm\Delta x$时取到0

Résumé:

波包 paquet d’onde

群速度和相速度

对于波$\varphi(x,t) = \varphi_0exp(i(\omega t-kx))$，有$\varphi(x,t) = TF^{-1}[\widehat \phi_1(k)exp(i\omega t)]$

将$\omega$对k展开：$\omega = \omega0+(\frac{d\omega}{dk}){k_0}(k-k_0)+\eta$

代入：

  • 相速度[正弦波的传递速度]：$v_\varphi = \frac{\omega_0}{k_0}$
  • 群速度[包络线的传递速度]：$v_g = \frac{d\omega}{dk}$
  • 群速度不等于相速度时，会发生色散

光学指数

  • 光学指数：$N_g= n+\omega\frac{dn}{d\omega}$，其中，n代表折射率
  • 此时有群速度：$V_g= \frac{d\omega}{dk} = \frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega}} = \frac{c}{N_g}$

变形

  • 一般来说，一个波包的传递时间：$t = \frac{L}{c}$
  • 但在介质中，传递事件发生变化：$t = L\frac{N_g}{c}$，此时到达时间会受到波长影响
  • 对于波长展宽为$\Delta\lambda$的波，时间上的展宽$\Delta \tau = \frac{dt}{d\lambda}\Delta \lambda = \frac{L}{c}|\frac{dN_g}{d\lambda}\Delta\lambda|$
  • 最终得到时间上展宽与空间上展宽的关系：