Raphael's Home

振动系统 Vibrating Systems 物理中的谐振振动 🐈‍⬛ 谐振振动是一类近似描述系统围绕平衡点运动的方法。 现实生活中的一些围绕平衡点的往复运动往往体现出与势能与位移呈二次关系。在这种情况下，可以将往复运动近似为简谐振动mouvement harmonique simple，将原本的运动系统近似为谐振子oscillateur harmonique。 一般的简谐振动的势能表达式为： \[ V = V_0+\frac 12 m\omega^2\Delta x^2 = V_0+\frac 12 k \Delta x^2 \] 其中，\(\omega\)为谐振子的角频率；\(k\)是谐振子弹簧的弹性系数。 在量子力学中，将一些微观粒子的行为近似为简谐振动的尝试也是可行的。 假设粒子围绕平衡点\(x_0\)在一维振动振动，其势能可以被描述为： \[ \begin{aligned}V(x)= & V\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)\left[\frac{\partial V(x)}{ ...

量子/经典力学联系 Le lien classique-quantique 🐈‍⬛ 简单来说，本章主要设计是个涉及埃洛菲斯特定理得推导和应用，以及综合之前得内容得一系列推导。可以看作对之前内容的一个复习。 埃伦费斯特 Ehrenfest 定理 埃伦费斯特定理的推导 期望取决于所考虑的量子态，如果量子态与时间相关，则期望也取决于时间。我们考虑期望值随时间的演变： \[ \begin{aligned}\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{A}| \psi(t)\rangle)= & \left(\frac{d}{d t}\langle\psi(t)|\right) \widehat{A}|\psi(t)\rangle \\& +\left\langle\psi(t)\left|\left(\frac{\partial}{\partial t} \widehat{A}\right)\right| \psi(t)\right\rangle+\langle\psi(t)| \widehat{A}\l ...

稳态微扰理论 Théorie des perturbations stationnaires 稳态微扰理论用于解决含有微弱扰动的系统的问题。在这种方法中，系统的哈密顿量可以分解为两部分：一个是我们已经熟悉的，称为基态哈密顿量，而另一个是微扰哈密顿量，用来描述我们添加的微小扰动。这个方法的目标是通过微扰哈密顿量的小参数来展开能量和波函数，以便在扰动项较小的情况下解出系统的性质。 问题描述 对于无扰动的粒子： \[ \widehat{H}_0\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle=\varepsilon_j^{(0)}\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle \] 其中，\(\widehat H_0\)被称为基态哈密顿量，\(\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle\)被称为基态，\(\varepsilon_j^{(0)}\)被称为基态能量。 当粒子受到扰动：\(\widehat{W}=\eta \widehat{V}\)，薛定谔方程转化为： \[ \widehat{H}_0|\psi ...

变分原理 Théorème variationnel 变分原理用于估计量子系统的基态能量以及与该能量相对应的波函数。该原理表述为：对于一个系统的基态波函数，若我们考虑一个任意的试探波函数，系统的基态能量将是所有试探波函数中能量最低的那个。换句话说，系统的基态能量是波函数的一个函数，而这个函数的值是通过最小化波函数的能量期望值来确定的。 问题描述 对于某一粒子，其薛定谔方程： \[ \widehat{H}\left|\psi_i\right\rangle=\varepsilon_i\left|\psi_i\right\rangle \] 设置试探波函数，\(\left|\varphi_t\right\rangle=\sum_i c_i\left|\psi_i\right\rangle\)。如何选取试探波函数以获得基态能量。 变分原理 考虑试探波函数对应的能量均值： \[ \begin{aligned} \langle E\rangle_t &=\langle H\rangle_t =\left\langle\varphi_t|\wid ...

多电子原子：第一量子复杂性 N -electron Atoms: A First Quantum Complexity 多电子原子的薛定谔方程基本都求不出准确解，因此需要使用近似方法。 平均场原理 独立电子假设 一个常见的做法是假设这些电子忽略彼此的存在。这意味着，作为一个初步近似，库仑排斥可以被忽略。这只有在电子分布比较分散，且平均而言，它们之间的相互作用比与更局域化的核之间的相互作用要弱时才可能。 \[ \widehat{H}=\sum_i \frac{\widehat{p}_i^2}{2 m} \] 平均有效势 假设每个电子都受到由其他电子产生的平均有效势的影响，而不需要它们之间实际上相互单独作用。因此，这个被称为“平均场”的势只取决于被考虑的电子的位置，而不是粒子之间的相对距离。 \[ \sum_{i \neq j} \frac{e^2}{4 \pi e \mid r_i-r_j\mid} \stackrel{\hat{}} \sim \sum_i V_{\mathrm{CM}}\left(\boldsymbol{r}_i\righ ...

氢：中心库伦势 Central Coulombic Potential 双体问题，即一个原子核和一个电子，是唯一稳定且可解析解决的问题。术语“类氢hydrogenic”指的是该系统与氢原子的相似性。这种系统的总能量可以写作： \(E_{\text {经典 }}=\underbrace{\frac{p_Z^2}{2 M_Z}}_{\text {原子核动能 }}+\underbrace{\frac{p_e^2}{2 m_e}}_{\text {电子动能 }}-\underbrace{\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0\left|\boldsymbol{r}_e-\boldsymbol{R}_Z\right|}}_{\text {核-电子势能 }}\) \(*Z*\) 是原子核的电荷数 类氢系统的哈密顿量 使用相关算符替换每个可观测量： \[ \widehat{H}=\frac{\hat{p}_Z^2}{2 M_Z}+\frac{\hat{p}_e^2}{2 m_e}-\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0\ ...

自旋：另一个自由度 Spin, a New Degree of Freedom 施特恩-格拉赫实验 电子的磁矩 原子中的电子由 \(\widehat{L}_z\) 和 \(\widehat{L}^2\) 共享的本征态描述。与带电粒子相关联的角动量的存在将产生磁矩。对于角动量为\(L\)的电子，其形成的磁矩: \[ \boldsymbol{\mu}=\frac{-e}{2} \boldsymbol{r} \wedge \boldsymbol{v}=\gamma \boldsymbol{L} \] 其中 \(\gamma=-\frac{e}{2 m}\) 被称为“旋磁比rapport gyromagnétique”。由于量子角动量只能以\(\hbar\)的整数倍变化，因此磁矩也是量子化的。其单位为：\(\mu_B=\frac{e \hbar}{2 m}\)，被称为玻尔兹曼磁矩。 与可变磁场的相互作用 当携带磁矩的原子穿过一个沿\(e_z\)方向均与的磁场时，其受力与磁场梯度\(\vec{\nabla} \boldsymbol{B}=\partial ...

旋转系统 Rotating Systems 刚体的能量通常由两部分描述：平移动能\(\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}\)和旋转动能\(\frac{\boldsymbol{L}^2}{2 I}\)，其中\(p\)被称为动量，而\(L\)被称为角动量。本章讨论量子力学体系中的角动量。 角动量算子 角动量算子的定义 角动量使用相对旋转轴的位置和动量之间的叉乘定义： \[ \boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \] 因此，可以使用位置算子和动量算子来定义角动量算子： \[ \begin{aligned}& \widehat{L}_x=\widehat{y} \widehat{p}_z-\widehat{z} \widehat{p}_y=-i \hbar\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right) \\& \widehat{L}_y=z \wideh ...

平衡级和精馏原理 ### 平衡级/接触级 不平衡的气液两相接触，经足够长时间弛豫，离开时，气液两相达到平衡的过程被称为平衡级。 在平衡过程中，选择较高的气象温度高，液相温度较低的组成。在平衡后易挥发组分A将从液相转移到气象，同时难挥发组分B从汽相转移到了液相。即汽相 浓度得到提浓，而液相浓度得到减浓。 # 精馏 [{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fchempro-3%2FUntitled.png","alt":""},{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos.ap-beijing.myqcloud.com/post%2Fchempro-3%2FUntitled_1.png","alt":""}] 精馏利用平衡级原理，多次通过平衡级来实现物质的高纯度分离。 [{"url":"https://raphaelhyaan-1322456377.cos ...

蒸馏基本概念和基础的蒸馏方式 🕍 利用各组分挥发度的差异将液体混合物加以分离的单元操作称为蒸馏。 基本概念 蒸馏的分类 二元蒸馏，多元蒸馏 连续蒸馏，间歇蒸馏 常压蒸馏，加压蒸馏，减压蒸馏 简单蒸馏，平衡蒸馏，精馏 二元理想物系气液相平衡 🕍 涉及的变量：温度t、压力P、汽相组成y、液相组成x 由理想气体和理想溶液总成的体系称为理想气液物系。 理想气体 满足理想气体状态方程，道尔顿分压定律 \[ P=p_A+p_B \quad y_A=\frac{p_A}{P} \quad y_B=\frac{p_B}{P} \] 理想溶液 满足拉乌尔定律的溶液称为理想溶液 \[ \left\{\begin{array}{l}p_A=p_A^0 x_A \\p_B=p_B^0 x_B\end{array}\right. \] 理想物系的气相/液相组成方程 对于理想物系，气相满足： \[ P=p_A+p_B=p ^0_A x+p_B^0(1-x) \] 可得： \[ \begin{align}\left\{\begin{ ...