正则系综 Ensemble canonique
正则系综 Ensemble canonique
热源 Thermostat
热源\(\mathcal
T\)是一个研究系统\(\mathcal
S\)的相对概念。具体来说,热源是一个温度在与研究系统进行热交换时的温度\(T_{\mathcal T}\)保持不变的系统。
通常来说,热源的粒子数\(N_{\mathcal
T}\)远大于研究系统\(N\)
由热源和研究系统构成的整体系统是孤立的,因此可以用微正则系综描述。
考虑热源的温度:
\[
\frac 1 T_{\mathcal T} = \frac{\partial s_\mathcal T}{\partial
E_{\mathcal T}}(E_{\mathcal T}) =\frac{\partial s_\mathcal T}{\partial
E_{\mathcal T}}(E_{tot}-E)\simeq \frac{\partial
s_{\mathcal{T}}}{\partial E_{\mathcal{T}}}\left(E_{t o t}\right)-E \cdot
...
微正则系综 Ensemble microcanonique
微正则系综 Ensemble
microcanonique
建议参考:
Main.pdf
孤立系统描述Description
d'un système isolé
孤立Isolé表示系统与外界既不交换物质也不交换能量。对于一个孤立系统,能量、粒子数和体积是守恒的。
外部参数是一组保守的宏观量和控制参数。
内部变量是系统通过与外界交换而采用的宏观量。
我们通过外部参数确定内部变量。
微正则概率分布distribution
microcanonique
假设一个孤立系统具有能量 E,则相应状态的数量为 Ω(E)。
等概率假设:每个可访问的微观态都是等概率的。
\[
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
P_i &= \frac{1}{\Omega(E)} & \text{对于可访问的状态 i} \\
P_i &=0 & \text{对于不可访问的状态 i}
\end{aligned}
\right.
\end{align}
\]
熵与系统的研究Entropie
S et ...
基本概念:状态,概率和信息熵 /遍历原理 Introduction
基本概念:状态,概率和信息熵
/遍历原理 Introduction
🦇
统计物理学希望通过概率方法推断出系统的宏观和介观属性,并了解其在微观尺度上的属性。
状态,概率和信息熵
信息熵entropie
statistique是衡量系统信息缺乏程度的量。
系统确定时,信息熵为零
系统各个状态概率相等时,信息熵最大
系统的独立事件之间的信息熵可加
信息熵大于零
信息熵可以由以下公式计算:
\[
S\left(p_1, p_2, \ldots, p_n\right)=-k \sum_i p_i \cdot \ln
\left(p_i\right)
\]
其中,\(k\)是玻尔兹曼常数。
状态État du
système是宏观系统的微观配置。系统的微观状态是并不确定的,但状态的集合是可数的。对于一个状态,由可观测量\(A\)测量的结果是\(A_i\)。所有测量的平均写作\(\langle A\rangle=\sum A_i p_i\)。
概率Probabilité是每个状态出现的概率。
\(A_ip_i\)是能量\(E_i\)的 ...
ESPIDF的“UnicodeDecodeError: 'gbk' codec can't decode byte 0xad in position 5872: illegal multibyte sequence”问题
问题原因:
路径中不能包括中文。
问题情况:
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量子力学总览
量子力学 Mécanique quantique
波和粒子的关系
Relation entre ondes et particules
从波到粒子 Des ondes aux particules
从粒子到波 Des particules aux ondes
波函数的薛定谔方程
Fonction d’onde et Équation Schrödinger
波函数 La fonction d’onde
薛定谔方程 The Schrödinger Equation
量子形式 La formalisme
quantique
量子力学公设 Les postulats de la mécanique quantique
算符作用在左矢和右矢上 Action des opérateurs sur les kets et les bras
经典力学与量子力学的联系
Le lien classique-quantique
量子/经典力学联系 Le lien classique-quantique
量子动量:谐振子
L’os ...
量子简谐系统的波函数 Wavefunctions for the Harmonic Oscillator
量子简谐系统的波函数
Wavefunctions for the Harmonic Oscillator
量子谐振子的波函数
🐈⬛ 根据波函数的定义, \(\phi_n(x)\)
表示态 \(|n\rangle\) 在位置 \(x\)处的波函数值。因此, \(\phi_n(x)=\langle x \mid
n\rangle\),即态\(|n\rangle\)
在位置 \(x\) 处的波函数就是态 \(|n\rangle\) 和位置本征态 \(|x\rangle\)的内积。
基态波函数
首先考虑湮灭算子:
\[
\widehat{a}=\frac{\widetilde{x}+i
\widetilde{p}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{m
\omega}{\hbar}} \widehat{x}+\hbar \sqrt{\frac{1}{m \hbar \omega}}
\frac{\partial}{\partial x}\right)
\]
对于谐振子系统的基态\(|n\ ...
振动系统 Vibrating Systems
振动系统 Vibrating Systems
物理中的谐振振动
🐈⬛ 谐振振动是一类近似描述系统围绕平衡点运动的方法。
现实生活中的一些围绕平衡点的往复运动往往体现出与势能与位移呈二次关系。在这种情况下,可以将往复运动近似为简谐振动mouvement
harmonique simple,将原本的运动系统近似为谐振子oscillateur
harmonique。
一般的简谐振动的势能表达式为:
\[
V = V_0+\frac 12 m\omega^2\Delta x^2 = V_0+\frac 12 k \Delta x^2
\]
其中,\(\omega\)为谐振子的角频率;\(k\)是谐振子弹簧的弹性系数。
在量子力学中,将一些微观粒子的行为近似为简谐振动的尝试也是可行的。
假设粒子围绕平衡点\(x_0\)在一维振动振动,其势能可以被描述为:
\[
\begin{aligned}V(x)= &
V\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)\left[\frac{\partial V(x)}{ ...
量子/经典力学联系 Le lien classique-quantique
量子/经典力学联系
Le lien classique-quantique
🐈⬛
简单来说,本章主要设计是个涉及埃洛菲斯特定理得推导和应用,以及综合之前得内容得一系列推导。可以看作对之前内容的一个复习。
埃伦费斯特 Ehrenfest 定理
埃伦费斯特定理的推导
期望取决于所考虑的量子态,如果量子态与时间相关,则期望也取决于时间。我们考虑期望值随时间的演变:
\[
\begin{aligned}\frac{d}{d t}(\langle\psi(t)|\widehat{A}|
\psi(t)\rangle)= & \left(\frac{d}{d t}\langle\psi(t)|\right)
\widehat{A}|\psi(t)\rangle \\&
+\left\langle\psi(t)\left|\left(\frac{\partial}{\partial t}
\widehat{A}\right)\right| \psi(t)\right\rangle+\langle\psi(t)|
\widehat{A}\l ...
稳态微扰理论 Théorie des perturbations stationnaires
稳态微扰理论
Théorie des perturbations stationnaires
稳态微扰理论用于解决含有微弱扰动的系统的问题。在这种方法中,系统的哈密顿量可以分解为两部分:一个是我们已经熟悉的,称为基态哈密顿量,而另一个是微扰哈密顿量,用来描述我们添加的微小扰动。这个方法的目标是通过微扰哈密顿量的小参数来展开能量和波函数,以便在扰动项较小的情况下解出系统的性质。
问题描述
对于无扰动的粒子:
\[
\widehat{H}_0\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle=\varepsilon_j^{(0)}\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle
\]
其中,\(\widehat
H_0\)被称为基态哈密顿量,\(\left|\psi_j^{(0)}\right\rangle\)被称为基态,\(\varepsilon_j^{(0)}\)被称为基态能量。
当粒子受到扰动:\(\widehat{W}=\eta
\widehat{V}\),薛定谔方程转化为:
\[
\widehat{H}_0|\psi ...
变分原理 Théorème variationnel
变分原理 Théorème
variationnel
变分原理用于估计量子系统的基态能量以及与该能量相对应的波函数。该原理表述为:对于一个系统的基态波函数,若我们考虑一个任意的试探波函数,系统的基态能量将是所有试探波函数中能量最低的那个。换句话说,系统的基态能量是波函数的一个函数,而这个函数的值是通过最小化波函数的能量期望值来确定的。
问题描述
对于某一粒子,其薛定谔方程:
\[
\widehat{H}\left|\psi_i\right\rangle=\varepsilon_i\left|\psi_i\right\rangle
\]
设置试探波函数,\(\left|\varphi_t\right\rangle=\sum_i
c_i\left|\psi_i\right\rangle\)。如何选取试探波函数以获得基态能量。
变分原理
考虑试探波函数对应的能量均值:
\[
\begin{aligned}
\langle E\rangle_t &=\langle H\rangle_t
=\left\langle\varphi_t|\wid ...